课时分层作业(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的三位偶数的个数是( ) A．120 B．60 C．52 D．50
C [若个位为0，则有A5＝20个，若个位不为0，则有A2·A4·A4＝32个，∴共有52个三位偶数．]
2．某教师一天上3个班的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有( )
A．474种 C．462种
B．77种 D．79种
3
2
1
1
1
A [首先不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A9＝504种排法，其中上午连排3节的有3A3＝18种，下午连排3节的有2A3＝12种，则这位教师一天的课程表的所有排法有504－18－12＝474种．]
3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! C．(3！)
4
3
3
B．3×(3！) D．9!
3
33
4
3
C [利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A3·(A3)＝(3！).故选C.] 4．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A．34种 C．96种
B．48种 D．144种
C [由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A4种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×2A4＝96(种)．故选C.]
5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有( )
A．98个 C．112个
B．105个 D．210个
22
112
4
4
D [当个位与百位数字为0,8时，有A8A2个；当个位与百位数字为1,9时，有A7A7A2个，共A8A2＋A7A7A2＝210(个)．]
二、填空题
6．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为
22
112
________．
24 [把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A4＝4×3×2×1＝24(种)．]
7．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
60 [分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C3C1A4
＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A4＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．]
8．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．
24 [把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A2·A2种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A3种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A2·A2·A3＝24.]
三、解答题
9. 在由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，求十位数与千位数之差的绝对值等于7的四位数的个数.
[解] 由题意知，任意两个数字之差的绝对值等于7的情况有3类：0与7,1与8,2与9.
分3种情况讨论：①当十位数与千位数分别为0,7时，有A8个四位数； ②当十位数与千位数为1,8时，有A8·A2个四位数； ③当十位数与千位数为2,9时，有A8·A2个四位数． 所以共有A8＋A8·A2＋A8·A2＝280(个)符合题意的四位数．
10．从集合{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
[解] 设a、b、c∈N＋且a、b、c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．
因此，选法只有两类：
(1)第一、三个数都是偶数，有A10种选法； (2)第一、三个数都是奇数，有A10种选法；
于是，选出3个数成等差数列的个数为A10＋A10＝180(个)．
[能力提升练]
2
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22
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3
2124
1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程2＋2＝1中的a和b，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为( )
A．43 C．863
B．72 D．90
2
xa2
yb2
B [在1,2,3，…，8中任取两个作为a和b，共有A8＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有A2A8＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56＋16＝72.]
2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有( )
A．504种 C．1 108种
B．960种 D．1 008种
26
11
D [由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有A2A6＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有A2A5＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有A2A5＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有A2A4＝48(种)．因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．]
3．6人排成一排照像，其中甲、乙两人中间恰有一人的排法总数是________． 192 [甲乙排序有A2种，从其余4人中选一人站在甲乙之间有4种选法，再将这三人看作一个元素与其余3人排列，有A4种排法，所以共有4A2·A4＝192(种)排法．]
4．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)
40 [可分三步来做这件事：第一步，先将3,5排列，共有A2种排法；第二步，再将4,6插空排列，共有2A2种排法；第三步，将1,2放到3,5,4,6形成的空中，共有A5种排法；由分步计数原理得共有A2·2A2·A5＝40种．]
5．用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？ (1)偶数不相邻； (2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数； (4 )三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列． [解] (1)用插空法，共有A4A5＝1 440个．
(2)先把偶数排在奇数位上有A4种排法，再排奇数有A4种排法，所以共有A4A4＝576个． (3)在1和2之间放一个奇数有A3种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进
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34
43
2
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1
2
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