又x·[f(x)－f(－x)]<0，即x与f(x)的符号相反， 由x>0可得x∈(0,3)； 由x<0可得x∈(－3,0)，
所以x·[f(x)－f(－x)]<0的解集是{x|－3 12．(2019·惠州调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且f(2－x)＝f(x), 若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)等于( ) A．－3 B．0 C．3 D．2 018 答案 C 解析 ∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0， 又由f(2－x)＝f(x)， ∴f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)， ∴f(x)是周期为4的函数， 又f(1)＝3，f(2)＝f(2－2)＝f(0)＝0， ∴f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3， f(4)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3. 故选C. 二、填空题 ??2－2，x≤0，13．(2019·四川诊断)已知函数f(x)＝? ?f?x－2?＋1，x>0，? －x 则f(2 019)＝________. 答案 1 010 解析 当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1， 则f(2 019)＝f(2 017)＋1＝f(2 015)＋2＝… ＝f(1)＋1 009＝f(－1)＋1 010, 而f(－1)＝0， 故f(2 019)＝1 010. 14．(2019·广东六校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋2x－3，则f(x)的解析式为________________． 2 x＋2x－3，x>0，?? 答案 f(x)＝?0，x＝0， ??－x2＋2x＋3，x<0 2 解析 令x＜0，则－x＞0，∵f(－x)＝－f(x)， 5 ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)＋2(－x)－3] ＝－x＋2x＋3， 又当x＝0时，f(0)＝0， 2 2 x＋2x－3，x>0，?? ∴f(x)＝?0，x＝0， ??－x2＋2x＋3，x<0. 2 15．(2019·青岛调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时， f(x)＝ex－1，则f(2 018)＋f(－2 019)＝________. 答案 e－1 解析 ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2 019)＝f(2 019)， f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的周期为2， 又x∈[0,1]时，f(x)＝e－1； ∴f(2 018)＝f(0)＝0， xf(－2 019)＝f(2 019)＝f(1)＝e－1. ∴f(－2 019)＋f(2 018)＝e－1. 16．(2019·云南曲靖一中质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ ?x＋3，x∈[0，1?，? ?2??3－x，x∈[－1，0?， 2 且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝ 3x＋7 ，则方程f(x)＝g(x)在区间[－x＋2 5,1]上的所有实根之和为________． 答案 －7 解析 ∵f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)的周期为2. 3x＋7 又g(x)＝ x＋2＝3＋ 1 ， x＋2 ∴函数g(x)图象的对称中心为(－2,3)． 在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象， 如图所示． 6 由图象可得两函数的图象交于A，B，C三点， 且点A，C关于点(－2,3)对称， ∴点A，C的横坐标之和为－4. 又由图象可得点B的横坐标为－3， ∴方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为－4－3＝－7. 三、解答题 10＋m·10 17．(2019·云南曲靖一中质检)已知函数f(x)＝x－x为R上的奇函数． 10＋10(1)求m的值； (2)求使不等式f(1－a)＋f(1－2a)>0成立的a的取值范围． 解 (1)由题意知f(x)为奇函数， 1＋m∴f(0)＝＝0，即1＋m＝0，m＝－1. 2经检验，m＝－1符合题意． 10－1010－12 (2)由(1)知f(x)＝x＝1－2x， －x＝2x10＋1010＋110＋1∴函数f(x)在R上为增函数． ∵f(1－a)＋f(1－2a)>0， ∴f(1－a)>－f(1－2a)， 又f(x)为奇函数， ∴f(1－a)>f(2a－1)， ∴ 1－a>2a－1， 2 解得a<. 3 2??∴实数a的取值范围为?－∞，?. 3?? 18．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋ f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0. (1)求证：f(x)在R上是奇函数； (2)求证：f(x)在R上是减函数； x－x2xx－x7 2 (3)若f(1)＝－，求f(x)在区间[－3,3] 上的最大值和最小值． 3(1)证明 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 令x＝y＝0得f(0)＝0， 令y＝－x得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)在R上是奇函数． (2)证明 在R上任取x1>x2， 则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝f(x1－x2)， ∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0， ∴f(x1) ∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)， 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 8
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