∵E是A1B的中点，
BG1?，∴EG⊥AB． GA3∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB， ∴EG⊥平面ABC．
又EG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．
练习7－1
一、选择题：
1．已知m，n是两条不同直线，??，??，??是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) (A)若m∥??，n∥??，则m∥n (B)若m⊥??，n⊥??，则m∥n (C)若??⊥??，??⊥??，则??∥?? (D)若m∥??，m∥??，则??∥?? 2．已知直线m，n和平面??，??，且m⊥n，m⊥??，??⊥??，则( ) (A)n⊥??? (B)n∥??，或n??? (C)n⊥?? (D)n∥??，或n???
3．设a，b是两条直线，??、??是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( ) (A)a⊥??，b∥??，??⊥?? (B)a⊥??，b⊥??，??∥?? (C)a???，b⊥??，??∥?? (D)a???，b∥??，??⊥?? 4．设直线m与平面??相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) (A)在平面??内有且只有一条直线与直线m垂直 (B)过直线m有且只有一个平面与平面??垂直 (C)与直线m垂直的直线不可能与平面??平行 (D)与直线m平行的平面不可能与平面??垂直 二、填空题：
5．在三棱锥P－ABC中，PA?PB?6，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，则PC＝______． 6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1．(只要求写出一种条件即可) 7．设??，??是两个不同的平面，m，n是平面??，??之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n ②??⊥?? ③n⊥?? ④m⊥??
以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题______．
8．已知平面??⊥平面??，??∩??＝l，点A∈??，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥??，m∥??，给出下列四种位置：①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥??；④AC⊥??， 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是______． 三、解答题：
9．如图，三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点．
(Ⅰ)求MN的长； (Ⅱ)求证：PA⊥BC．
10．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：
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(Ⅰ)直线EF∥平面ACD； (Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD．
11．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，
BC?11AD,BE//AF,BE?AF，G，H分别为FA，FD的中点． 22(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(Ⅱ)C，D，F，E四点是否共面?为什么?
(Ⅲ)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．
§7－2空间几何体的结构
【知识要点】
1．简单空间几何体的基本概念：
(1)
(2)特殊的四棱柱：
(3)其他空间几何体的基本概念： 几何体
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基本概念
正棱锥 正棱台 圆柱 圆锥 圆台 球面 球 几何体 底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台 以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体 半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面 球面所围成的几何体 性质 补充说明 2．简单空间几何体的基本性质： (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形 (1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面(2)两个底面与平行于底面的截面是全及对角面都是矩形 等的多边形 (2)长方体一条对角线的平方等于(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)一个顶点上三条棱长的平方和 是平行四边形 (1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射 影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形 (1)球心和球的截面圆心的连线垂直于(1)过球心的截面叫球的大圆，不过截面 球心的截面叫球的小圆 (2)球心到截面的距离d，球的半径R，(2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两22截面圆的半径r满足r?R?d 点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离) 棱柱 正棱锥 球 3．简单几何体的三视图与直观图： (1)平行投影：
①概念：如图，已知图形F，直线l与平面??相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面??于点M1，则点M1叫做点M在平面??内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面??内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在??内关于直线l的平行投影．平面??叫投射面，直线l叫投射线．
②平行投影的性质：
性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
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性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； 性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图． (3)三视图：
①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影．
②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．
将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．
③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积：
①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高．
1ch?，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高． 21③S正棱台侧面积?(c?c?)h?，其中c＇，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台的斜高．
2②S正棱锥形面积?④S圆柱侧面积＝2?Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高． ⑤S圆锥侧面积＝?Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长．
2
⑥S球＝4?R，其中R是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：
①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．
1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 31③V台体?h(S?SS??S?)，其中S＇，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体的高．
34④V球?πR3，其中R是球的半径．
3②V锥体?
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【复习要求】
1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；
2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式． 【例题分析】
例1 如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．
(Ⅰ)证明：PA⊥BC；
(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．
【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．
证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD． ∵P－ABC是正三棱锥，
∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形． ∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD， ∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．
(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，PD?∴S?PBC?PB2?BD2?14b2?a2, 21aBC?PD?4b2?a2. 243a4b2?a2. 4∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P－ABC的侧面积是
3a2∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是,
43a23a3a?4b2?a2?(a?12b2?3a2)? ∴三棱锥P－ABC的表面积为444(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心， ∴OD?113a3aAD???, 3326在Rt△POD中，PO?PD2?OD2?33b2?a2, 3
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