且
所以当时：
.
1x2y27．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为，
2abP是椭圆C上的一个动点，且?PF1F2面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；
（2）设直线PF2斜率为k(k?0)，且PF2与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点T(0,t)，使得|TP|?|TQ|?若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.
x2y2【答案】(1) ??1 (2)见解析
43【解析】
（1）当P为C的短轴顶点时，?PF1F2的面积有最大值3 c1????a?2a2?2?x2y222所以?a?b?c，解得?b?3，故椭圆C的方程为：??1.
43?1?c?1???2c?b?3?2（2）设直线PQ的方程为y?k(x?1)，
22xy2222将y?k(x?1)代入??1，得?3?4k?x?8kx?4k?12?0；
43设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，线段PQ的中点为N?x0,y0?，
x1?x24k2x0??,23?4k2y0?y1?y2?3k， ?k?x0?1??223?4k?4k2?3k?, 即N?22??3?4k3?4k?因为|TP?TQ|，所以直线TN为线段PQ的垂直平分线，
?3k?t24k?3??1，即?k??1， 4k24k2?3kPQ所以TN?PQ，则kTN·所以
t?k4k2?3?14k?3， k?3?3当k?0时，因为4k??43，所以t???0,12?， k???3?3t?,0?当k?0时，因为4k???43，所以???. 12k???3??3?t?,0?0,综上，存在点T，使得|TP?TQ|，且的取值范围为?????12?. 12????8．（2019·河北辛集中学高三月考（文））已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A，B两点，且AB?3，曲线C3是以坐标原点O为圆心，以OF2为半径的圆. （1）求C2与C3的标准方程；
（2）若动直线l与C3相切，且与C2交于M，N两点，求?OMN的面积S的取值范围.
?326?y2x222【答案】(1) C2的标准方程为??1.C3的标准方程为x?y?1.(2) ?,?
2343??【解析】
（1）由已知设抛物线C1的方程为x?2py(p?0)，
2则4?2p，解得p?2，即C1的标准方程为x?4y.
2
y2x2则F2?0,1?，不妨设椭圆C2的方程为2?2?1(a?b?0)，
ab?y2x2?2?2?12b2b2由?a，得x??，所以AB?b?3，
aa??y??1又a2?b2?1，所以a?2，b?3，
y2x2故C2的标准方程为??1.
4322易知OF2?1，所以C3的标准方程为x?y?1.
（2）因为直线l与C3相切，所以圆心O到直线l的距离为1.所以S?MN1. ?MN?1?22当直线l的斜率不存在时，其方程为x??1，易知两种情况所得到的?OMN的面积相等.
?y2x2???126. 由?4，得y??33?x?1??26??26?46N1,?M1,不妨设?，，则， ???MN?????333????此时S?MN2?26. 3当直线l的斜率存在时，设其方程为y?kx?m， 则?m1?k2?1，即m2?k2?1.
?y2x2???1222由?4，得?3k?4?x?6kmx?3m?12?0， 3?y?kx?m?所以??36km?43k?43m?12 ?484?3k?m设M?xM,yM?，N?xN,yN?，
22?2??2??22??48?2k2?3?0恒成立.
??6km3m2?12. 则xM?xN?2，xMxN?23k?43k?4
所以S?2MN1?1?k222?xM?xN?213m2?1212??6km??4xMxN?1?k?2?1?k2??4?223k?42?3k?4?2482k2?33k2?4??231?k22k2?3. ?3k2?42令3k?4?t?t?4?，则k?t?4， 3232t2?t?1
所以S?3t223?1?1??????2，
3?t?t令?m'，则m'??0,?，
421t??1??易知y??m'?m'?2区间?0,?上单调递减，所以
42??1??326. ?S?23?326?综上，?OMN的面积S的取值范围为?,?.
23??x29．已知椭圆C1的方程为?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶
4点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点． (1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA?OB?2，求k的取值范围．
uuruur?3??3?x22?1,???,1?2 【答案】（1）；（）?y?1??????3??3?3?【解析】
x2y2 (1)设双曲线C2的方程为2?2?1(a?0,b?0)
ab则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
x2故双曲线C2的方程为－y2＝1.
3x2(2)将y＝kx＋2代入－y2＝1，
3得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
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