高考数学之冲破压轴题讲与练 专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】

?3?(1)若点P的坐标为?1,?，求椭圆C的方程;

?2?(2)若3???4，求椭圆C的离心率的取值范围

x2y253【答案】(1) ??1；(2) [,]

4353【解析】

?3? (1)∵PF2垂直于x轴，且点P的坐标为?1,?

?2?∴a2?b2?c2?1，

19??1，解得a2?4，b2?3 22a4bx2y2∴椭圆C的方程为??1.

43(2)∵PF2?x轴，不妨设P在x轴上方，P(c,y0)，y0?0，设Q(x1,y1)

2?b2?c2y0b2∵P在椭圆上，∴2?2?1.解得y0?，即P?c,?

aba?a?uuuruuurb20)，由PQ??FQ∵F1(?c，得x1?c??(x1?c),y1???y1， 1a??1b2??1b2c,y1??c,?) 解得x1??，∴Q(???1(??1)a??1(??1)a∵点Q在椭圆上

??12b2)e??1，即(??1)2e2?(1?e2)?(??1)2 ∴(22??1(??1)a2∴(??2)e???2，从而e?2??24?1? ??2??2∵3???4，∴

11?e2? 53

解得53 ?e?5353,]. 532∴椭圆C的离心率的取值范围是[18.（2009·全国高考真题（文））如图，已知抛物线E:y?xB、C、D四个点. （Ⅰ）求r的取值范围

与圆M:(x?4)?y?r(r?0)相交于A、

222（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标.

【答案】（Ⅰ）【解析】 （Ⅰ）联立方程组

（Ⅱ）（）

与，可得

，所以方程由两个不等式正根

由此得到解得，所以r的范围为

（Ⅱ）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为

，

解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

将代入上式，并令，得

求导数，令当当且仅当

，解得时，时，

，当

，

；当

时，

）

由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（