1
∴ab≤4，∴S＝absinC≤3，
2∴△ABC面积S的最大值为3. 考向3 解三角形的综合问题
角度1 解三角形与三角恒等变换的综合
例3 (2019·福建省高三模拟)已知在△ABC中，AC＝3，C＝120°，cosA＝3sinB. (1)求边BC的长；
153
(2)设D为AB边上一点，且△BCD的面积为，求sin∠BDC.
8解 (1)由cosA＝3sinB及C＝120°， 得cos(60°－B)＝3sinB，
13
展开得cosB＋sinB－3sinB＝0，
22即cos(B＋60°)＝0，所以B＝30°.
所以A＝60°－B＝30°，即A＝B＝30°，所以BC＝AC＝3. 115353
(2)由S△BCD＝×3×BD×sin30°＝，解得BD＝.
282在△BCD中，CD＝BC＋BD－2BC·BDcosB， 所以CD＝由
21. 2
2
2
2
CD321＝，得＝×2，
sin∠BDCsinBsin∠BDC2
21
. 7
BC所以sin∠BDC＝
正、余弦定理与三角恒等变换的综合问题，应先利用三角恒等变换公式将函数关系式变形为只含一个角的一种三角函数形式后，再根据要求求解．
(2019·江西南昌高三适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cosA－2cosC2c－a＝.
cosBbsinC(1)求的值；
sinA - 6 -
1
(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积．
42c－a2sinC－sinA解 (1)由正弦定理，得＝，
bsinBcosA－2cosC2sinC－sinA所以＝，
cosBsinB即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB， cosAsinB－2cosCsinB＝2sinCcosB－sinAcosB， cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosB＋2cosCsinB 化简得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
sinC又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，因此＝2.
sinAsinC(2)由＝2，得c＝2a，
sinA1222
由余弦定理b＝a＋c－2accosB及cosB＝，b＝2，
41222
得4＝a＋4a－4a×，得a＝1，从而c＝2.
4115
又因为cosB＝，且0 44111515 因此S＝acsinB＝×1×2×＝. 2244角度2 解三角形与平面几何知识的综合 π2π 例4 如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使 232π 得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝7. 3 (1)求sin∠BCE的值； (2)求CD的长． 解 (1)在△BEC中，由正弦定理，知 ＝. sin∠BCEsinBBECE - 7 - 2π ∵B＝，BE＝1，CE＝7， 3 32 ∴sin∠BCE＝ BE·sinB21 ＝＝. CE714 2π (2)∵∠CED＝B＝，∴∠DEA＝∠BCE， 3∴cos∠DEA＝1－sin∠DEA＝1－sin∠BCE ＝ 3571－＝. 2814 2 2 π ∵A＝，∴△AED为直角三角形，又AE＝5， 2∴ED＝ 5＝＝27. cos∠DEA57 14 AE?1?222 在△CED中，CD＝CE＋DE－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×?－?＝49. ?2? ∴CD＝7. 利用正、余弦定理求解平面几何中的问题，应根据图形特征及已知条件，将所给量及待求量放在同一个三角形中，结合三角形内角和定理、外角和定理及正、余弦定理求解． (2019·广东江门高三一模)平面四边形ABCD中，边AB＝BC＝5，CD＝8，对角线BD＝7. (1)求内角C的大小； (2)若A，B，C，D四点共圆，求边AD的长． BC2＋CD2－BD21π 解 (1)在△BCD中，cosC＝＝，C＝. 2·BC·CD23 2π (2)因为A，B，C，D四点共圆，所以A＝π－C＝， 3在△ABD中，BD＝AB＋AD－2AB·AD·cosA， 49＝25＋AD＋5AD，解得AD＝3或AD＝－8， 又AD>0，所以AD＝3. 真题 押题 2 2 2 2 『真题模拟』 - 8 - 1．(2019·山东聊城高三一模)设函数f(x)＝sinx－cosx，若对于任意的x∈R，都有f(2θπ??－x)＝f(x)，则sin?2θ－?＝( ) 3?? 1 A. 2C.3 2 1B．－ 2D．－ 3 2 答案 B ?π?解析 f(x)＝sinx－cosx＝2sin?x－?，由f(2θ－x)＝f(x)，得x＝θ是函数f(x) 4?? 的对称轴，得θ－sin? π?ππ3π?＝＋kπ，k∈Z，得θ＝＋kπ，k∈Z.∴sin?2θ－?＝ 3?424? ?3π＋2kπ－π?＝sin7π＝－1.故选B. ?3?62?2 2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为 a2＋b2－c2 4A. ，则C＝( ) ππππ B. C. D. 2346 答案 C 1a＋b－c2222解析 由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a＋b－c＝2absinC.由余弦定理得a24π22 ＋b－c＝2abcosC，所以sinC＝cosC.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C. 4 2 2 2 ?π?3．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈?0，?，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( ) 2?? 15325 A. B. C. D. 5535答案 B 解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cosα. 15?π?又∵α∈?0，?，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B. 2?25? 3?π??π?4．(2019·河南顶级名校高三四模)已知α∈?0，?，β∈?0，?，sin(2α＋β)＝ 2?2?2??sinβ，cosβ的最小值为( ) A. 5512 B. C. D. 3523 2 答案 A - 9 - 33 解析 因为sin(2α＋β)＝sinβ，即sin[(α＋β)＋α]＝sin[(α＋β)－α]，则 223 sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]，有 2sin(α＋β)cosα＝5cos(α＋β)sinα?tan(α＋β)＝5tanα，即4tanα5tanα，那么tanβ＝＝2 1＋5tanα41 5tanα＋tanαtanα＋tanβ＝ 1－tanαtanβ?π?β∈?0，π?， ，∵α∈?0，?，??∴tanα>0， 2?2??? tanβ>0，∴tanβ≤ 25152 ＝，当5tanα＝即tanα＝时等号成立．因此tanβ＝ 5tanα525 4 22 sinβ1－cosβ455?π?2 ＝≤，即cosβ≥，又β∈?0，?，cosβ>0?cosβ≥.故选A. 22 2?cosβcosβ593? 5．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝______. 1 答案 － 2 解析 解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)＋(－cosα) 2 2 11112 ＝1，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－cosα222211112 ＝－1＋sinα＝－1＋＝－. 4442 解法二：由(sinα＋cosβ)＋(cosα＋sinβ)＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α1＋β)＝－. 2 6．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________. 答案 12272 510 2 2 解析 如图， - 10 -
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