在内 内 使 或 。因 及
在区域,
的二级零点。 内解析; 。 在点
连续,故由例1.28知,存在 的邻域 ,
内恒不为零。而由题设 .。 ,
故必
由唯一性定理(推论4.21)
例4.10 试用最大模原理证明例3.9。即证:存在, 使当时 , 而且
则在圆证 如果在上解析。故 内, 内, ,
至少有一个零点。” 无零点。而由题设在 上 ,且 在 在
上解析。此时 且在 上,
设在闭圆上解析,如果“ , 于是
必非常数,在 上 。 ,
由最大模原理,这就得到矛盾。
【篇三:第五章习题解答】
求下列各解析函数或多值函数的解析分支在指定点的函数。((3) z 2 2 2
(z?1) z1?z
z??i; (2) 11?e z
z?2n?i
,n为整数;
z?1; (4)sin 1z?1 ,z?1
解:(1) res z 2
z?i(z2?1)2res 2 ?( z 2 2
(z?i) z 2
1) )|z?i?? i4i4 z 2 2
z??i(z?1) ?(
(z?1) 2
)|z??i?
(2) (3) res 1
z?2n?1?ez z ??1 res
z?11?z ?
z|z?1??1分别相应于??1的两个分支。 1z?1
(4)z=1为本性奇点,由sin 2、函数 resz?1lnzz?1 2
的罗朗展式知 sin 1z?1 ?1
的各解析分支在z??1各有怎样的孤立奇点?求它们在这 些点的留数。
解:取下半虚轴作为割线,这时lnz的各解析分支是:其中? ? 2
(lnz)k?lnz?i(argz?2k?) 32 k?e, arg1?0 ?argz?? ,记
(lnz)kz?1 2
为fk
z?1是f0的可去奇点,k?z??0?时,z?1是fk的一阶极点, 的一阶极点,res(fk,?1)????k? ? 1?
??i2?
res(fk,1)?k?i k?z,z??1是fk 3、计算下列积分 (1)?c(2)?c
zdz(??1)(??2)edzz(z?9) 2 22
,其中c:2 z?2? 12
,其中c:??1
(3)?ctan?zdz 其中c:解(1)被积函数在z?2 res z?2
z?n(n?1,2,3?) ? 12
内只有一个二级极点z?2,而 z?2 ?z? ???2
(z?1)(z?2)?z?1? z ??1 所以 ? zdz c
(z?1)(z?2) 2
??2?i
,而
(2)被积函数在z所以 ?c22 z(z?9) edz 2
?1内只有一个二级极点z?0 ?ez?
res22???z2?9??z?0z(z?9) ?? e z z?0 ?? 19 ?? 2?i9
?z??内解析,c
4、设函数f(z)在区域r0把积分 2?i?1 c
表示圆z
?r(0?r0?r),我们 f(z)dz
定义作为函数f(z)在无穷远点的留数,记作 ?
res(f,?),在这里积分中的c表示积分沿c的顺时针方向,试证明: 1z
如果??1表示
f(z)在r0?z???resf(?)????1 ???
的罗朗展式中的的系数,那么 证明:设f(z)在r0逐项积分得 ?z???
内罗朗展式为 n
f(z)??? ??n
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