在内 内 使 或 。因 及
在区域，
的二级零点。 内解析； 。 在点
连续，故由例1.28知，存在 的邻域 ，
内恒不为零。而由题设 .。 ,
故必
由唯一性定理（推论4.21）
例4.10 试用最大模原理证明例3.9。即证：存在， 使当时 ， 而且
则在圆证 如果在上解析。故 内， 内， ，
至少有一个零点。” 无零点。而由题设在 上 ，且 在 在
上解析。此时 且在 上，
设在闭圆上解析，如果“ ， 于是
必非常数，在 上 。 ，
由最大模原理，这就得到矛盾。
【篇三：第五章习题解答】
求下列各解析函数或多值函数的解析分支在指定点的函数。（（3） z 2 2 2
(z?1) z1?z
z??i； （2） 11?e z
z?2n?i
，n为整数；
z?1； （4）sin 1z?1 ，z?1
解：（1） res z 2
z?i(z2?1)2res 2 ?( z 2 2
(z?i) z 2
1） )|z?i?? i4i4 z 2 2
z??i(z?1) ?(
(z?1) 2
)|z??i?
（2） （3） res 1
z?2n?1?ez z ??1 res
z?11?z ?
z|z?1??1分别相应于??1的两个分支。 1z?1
（4）z=1为本性奇点，由sin 2、函数 resz?1lnzz?1 2
的罗朗展式知 sin 1z?1 ?1
的各解析分支在z??1各有怎样的孤立奇点？求它们在这 些点的留数。
解：取下半虚轴作为割线，这时lnz的各解析分支是：其中? ? 2
(lnz)k?lnz?i(argz?2k?) 32 k?e, arg1?0 ?argz?? ，记
(lnz)kz?1 2
为fk
z?1是f0的可去奇点，k?z??0?时，z?1是fk的一阶极点， 的一阶极点，res(fk,?1)????k? ? 1?
??i2?
res(fk,1)?k?i k?z,z??1是fk 3、计算下列积分 （1）?c（2）?c
zdz(??1)(??2)edzz(z?9) 2 22
，其中c:2 z?2? 12
，其中c:??1
（3）?ctan?zdz 其中c:解（1）被积函数在z?2 res z?2
z?n(n?1,2,3?) ? 12
内只有一个二级极点z?2，而 z?2 ?z? ???2
(z?1)(z?2)?z?1? z ??1 所以 ? zdz c
(z?1)(z?2) 2
??2?i
，而
（2）被积函数在z所以 ?c22 z(z?9) edz 2
?1内只有一个二级极点z?0 ?ez?
res22???z2?9??z?0z(z?9) ?? e z z?0 ?? 19 ?? 2?i9
?z??内解析，c
4、设函数f(z)在区域r0把积分 2?i?1 c
表示圆z
?r(0?r0?r)，我们 f(z)dz
定义作为函数f(z)在无穷远点的留数，记作 ?
res(f,?)，在这里积分中的c表示积分沿c的顺时针方向，试证明： 1z
如果??1表示
f(z)在r0?z???resf(?)????1 ???
的罗朗展式中的的系数，那么 证明：设f(z)在r0逐项积分得 ?z???
内罗朗展式为 n
f(z)??? ??n
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