一次函数
易错清单
1. 一次函数y=kx+b的图象的位置与k,b的符号之间的关系.
【例1】 (2014·湖南娄底)一次函数y=kx-k(k<0)的图象大致是( ).
【解析】 首先根据k的取值范围,进而确定-k>0,然后再确定图象所在象限即可. 【答案】 ∵ k<0,
∴ -k>0.
∴ 一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.
故选A.
【误区纠错】 此题主要考查了一次函数图象,直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移. 2. 讨论一次函数性质时漏解.
【例2】 (2014·四川自贡)一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则是 .
【解析】 由于k的符号不能确定,故应分k>0和k<0两种进行解答.
的值
【误区纠错】 本题考查的是一次函数的性质,在解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.
3. 一次函数与不等式的关系.
【例3】 (2014·湖北孝感)如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为( ).
A. -1 C. -4
B. -5 D. -3
【解析】 满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.
【答案】 ∵ 直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,
∴ 关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4
【误区纠错】 本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系,错解误认为是关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为x>-2. 4. 一次函数的实际应用.
【例4】 (2014·山东德州)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售
价如下表:
进价(元/只) 售价(元/只) 30 60 甲型 25 乙型 45 (1)如何进货,进货款恰好为46000元?
(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元? 【解析】 (1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;
(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.
【答案】 (1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,由题意,得 25x+45(1200-x)=46000,解得x=400.
∴ 购进乙型节能灯1200-400=800只.
故购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.
(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由题意,得
y=(30-25)a+(60-45)(1200-a), y=-10a+18000.
∵ 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%, ∴ -10a+18000≤[25a+45(1200-a)]×30%. ∴ a≥450. ∵ y=-10a+18000, ∴ k=-10<0.
∴ y随a的增大而减小. ∴ a=450时,y最大=13500元.
∴ 商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.
【误区纠错】 本题考查了单价×数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解答时求出求出一次函数的解析式是关键.
名师点拨
1. 掌握一次函数的定义,能利用定义进行判断.
2. 正确画出一次函数的图象,并利用图象说出它的变化特点,能利用图象求函数的近似解. 3. 会求一次函数解析式. 4. 会用函数思想解决实际问题.
提分策略
1. 一次函数图象的平移.
直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.平移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;若向左(或向右)平移m个单位,则直线y=kx+b(k≠0)变为
y=k(x+m)+b(或k(x-m)+b),其口诀是上加下减,左加右减.
【例1】 如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb= .
【解析】 ∵ y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行,∴ k=2.
∵ y=kx+b的图象经过点A(1,-2), ∴ 2+b=-2,解得b=-4. ∴ kb=2×(-4)=-8.
【答案】 -8
2. 一次函数与一次方程(组),一元一次不等式(组)相结合问题.
【例2】 一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于
x的方程kx+b=0的解为 .
【解析】 ∵ 一次函数y=kx+b过点(2,3),(0,1),
∴ 一次函数的解析式为y=x+1.
当y=0时,x+1=0,x=-1.
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