向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

第四章 向量组的线性相关性目标测试题

（参考答案）

一、填空题.

1. 设向量组?1?(a, 0, c), ?2?(b, c, 0), ?3?(0, a, b)线性无关，则a,b,c必满足关系式

abc?0.

2. 已知向量组?1?(2, 1, 3, ?1), ?2?(3, ?1, 2, 0), ?3?(4, 2, 6, ?2), ?4?(4, ?3, 1, 1)，则该向量组的秩为___2__.

?12?2??a?????3. 设三阶矩阵A??212?，三维向量???1?，若向量A?与?线性相关，则a? -1 ．

?304??1?????4. 已知向量组?1?(1,2,?1,1)T,?2?(2,0,t,0)T,?3?(0,?4,5,?2)T的秩为2，则t＝ 3 ．

5. 设?1,?2,?3线性无关，问k?__1_时，?2??1,k?3??2,?1??3线性相关.

6．设?1,?2L,?s为非齐次线性方程组Ax?b的解，若k1?1?k2?2?L?ks?s也是方程组Ax?b的解，

L， ks应满足条件k1则k1，k2，?k2+ L? ks?1.

二、选择题.

1．设有向量组

?1?(1, ?1, 2, 4), ?2?(0, 3, 1, 2), ?3?(3, 0, 7, 14), ?4?(1, ?2, 2, 0),?5?(2, 1, 5, 10), 则该向量组

的最大线性无关组( B ).

(A) ?1, ?2, ?3, (B) ?1, ?2, ?4, (C) ?1, ?2, ?5, (D) ?1, ?2, ?4, ?5．

2. 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ). (A) ?1??2,?2??3,?3??1, (B) ?1,?1??2,?1??2?a3, (C) ?1??2,?2??3,?3??1, (D) ?1??2,2?1??3,3?3??1.

3．设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而?2不能由?1,?2,?3线性

表示，则对任意常数k，必有（A ）．

（A）?1,?2,?3,k?1??2线性无关；（B）?1,?2,?3,k?1??2线性相关； （C）?1,?2,?3,?1?k?2线性无关；（C）?1,?2,?3,?1?k?2线性相关．

4 . 设?1?(1,0,0)T,?2?(0,0,1)T，则?＝（B ）时，?可由?1,?2线性表示．

（A）(2，0，0) （B）（3，0，4） （C）（1，1，0） （D）（0，1，0）

5.下列命题正确的是(

D ).

(A) 对于向量组?1,?2,?,?s，若有不全为零的数组k1, k2, ?, ks，使得

k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关,

(B) 对于向量组?1,?2,?,?s，若有不全为零的数组k1, k2, ?, ks，使得

k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关,

(C) 若向量组?1,?2,?,?s线性相关，则其中每个向量都可由其余向量线性表示, (D) 任何n?1个n维向量必线性相关.

TTT6.设?1?(1,2,1),?2?(0,5,3),?3?(2,14,8)，则向量组?1,?2,?3的秩是（

C

）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

7．设A为m?n矩阵，且r(A)?n?1，?1,?2是Ax?0的两个不同的解向量，k为任意的常数，则

Ax?0的通解为（ C ）

（A） k?1 （B） k?2 (C) k(?1??2) (D) k(?1??2)

三、计算题.

1．设??(2,1,?2),??(?4,2,3),??(?8,8,5)，求数k使得

TTT2??k???．(k?3)

?4) ?4)

2. 设?1?(1, 1, 2), ?2?(1, 2, 3), ?3?(1, 3, t). (1) 当t为何值时，?1,?2,?3线性无关. (t(2) 当t为何值时，?1,?2,?3线性相关. (t(3) 当?1,?2,?3线性相关时，将?3用?1,?2线性表示. (?3?2?2??1)

3. 求向量组?1?(3, 1, 2, 1), ?2?(?6, 4, ?1, ?5), ?3?(?7, ?1, ?3, ?4), ?4?(3, 2, 1, 2)的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量.

313（?1,?2,?3;????????4???1??2??3.）

2224. 确定常数a和b使得?1?(1, 0, ?1, 2), ?2?(2, ?1, 3, a), ?3?(1, ?2, b, 0)线性相关.

(

a?3,b?9.)

5．设?1,?2,?3线性无关，问当h,k满足什么条件时，h?2??1,k?3??2,?1??3也线性无关．(

hk?1.)

6．设t1,t2,t3为互不相等的常数，讨论向量组

2T2T?1?(1,t1,t12)T,?2?(1,t2,t2),?3?(1,t3,t3)的线性相关性.（线性无关）

7.已知非齐次线性方程组

?x1?x2?2x3?3x4?0，?2x?x?6x?4x??1， ?1234 ?3x?2x?ax?7x??1，234?1??x1?x2?6x3?x4?b. 讨论参数a，b取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.

（ （1）当b??2时，r(B)?r(A)，方程组无解；

（2）当b??2时，r(B)?r(A)，方程组有解, (a)若a??8，原方程组的通解为

??1??4???1???????1?2?2x??*?c1?1 ?c2?2????c1???c2??，（c1,c2???0??1??0???????00?????1?(b)若a??8，原方程组的通解为

??1???1?????1?2x??*?c? ????c??，（c??）.）

?0??0??????0??1?四、证明题.

）.

1. 设有向量组?1,?2,?,?m(m?1),且

?1??2??3????m,?2??1??3????m,??????????

?m??1??2????m?1.证明：当向量组?1,?2,?,?m线性无关时，向量组?1,?2,?,?m也线性无关.

2. 证明，对任意实数a，向量组

?1?(a,a,a,a)T,?2?(a,a?1,a?2,a?3)T,?3?(a,2a,3a,4a)T

线性相关．

3．设A为m?n矩阵，?1，?2为非齐次线性方程组Ax?b的两个不同解，证明： 向量组?1，?1??2线性无关.