东北师范大学本科毕业论文
引言
混沌与分形理论的产生不仅促进了非线性科学的诞生,还更多的涉及到了其他学科。在
不断的研究混沌与分形理过程中发现了一些重大发现, 这些重大的发现不仅开拓了科学家们的视野和思路, 同时又带来了一些未知的问题。混沌和分形理论的建立，进一步改变了人们对这个世界的看法，混沌与分形把简单与复杂、有序和无序、稳定与不稳定、确定和随机等矛盾体统一在了一幅美丽的自然画卷里。混沌理论与分形的近代研究，已经应用到了各个领域， 它们从另一极端对传统科学提出了严峻的挑战，同时又给传统科学提供了天然的弥补和深刻的启示，启发着新时代的科学家不断不断与时俱进！
面对新时代和新形势，混沌与分形已经变成一项代表重塑科学体系的狂飙运动，混沌与分形理论正在21世纪科学界蓬勃发展着，它们将会开启世界科学的新纪元。
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混沌的介绍
定义
布莱克在《混沌开创新科学》中写到：“相对论排除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除了决定论可预见性的狂想。”更有人说21世纪的科学家只有三件事将被记住:相对论、量子力学和混沌！何为“混沌”？普通意义上，混沌只是意味着混乱、无秩序,而在非线性动力学系统中, 混沌一词则有更精细的意义。 目前在不同的学科领域里对混沌理论有着不同的理解和表达方法，体现出了在各自领域中的应用特点。 最早创立混沌理论的气象学家洛伦兹认为：混沌系统是指敏感的以来于出事条件的内在
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变化的系统，对于外来变化的敏感性本身并不意味着混沌。陈宁等人认为，如果一个系统：有对初始条件的敏感依赖性（2）是拓扑传递的（3）在出现混沌的区域内有稠密周期点。那
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么这个系统就是混沌。
目前为止，混沌的定义没有严格定义，在这里就不再赘述。
特征
混沌理论是近代非线性动力学中重要的组成部分，虽然混沌的定义繁多复杂，但是混沌还是有自己的与其他非线性系统所没有的一些基本特征，从而我们可以更好地了解什么是混沌。混沌特征具体表现如下：
对初始值的敏感依赖性
混沌系统具有对初值的高度敏感性。初始状态失之毫厘，最终状态会谬以千里，出示状
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态微小的差别随系统的演化越来越大。换句话说，初值上非常小的变化会导致完全不同的结果。
著名的“蝴蝶效应”。1972年洛伦兹在华盛顿科学进步协会上的报告上指出：“在巴西的一只蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的一场龙卷风”。这句话的意思是说任意一个微小的扰动可能会引起世界另一边天气的变化，这种微小的扰动如同蝴蝶扇一下翅膀，都有可能发生巨大的改变。这一现象的指出就是对混沌对初值敏感性依赖的最好的诠释。即蝴蝶效应是
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区别混沌同其他确定性运动的最重要标志。
整体稳定而局部不稳定
由于混沌系统中轨道之间的指数性分离，导致了混沌系统的不稳定性。且在这种变化中造成了系统得能量的耗散，也就造成了系统运动轨迹需要向吸引子方向收缩。所以，为了要同时满足发散与收缩这两个动作，那就只有通过拉伸与折叠来实现了。这种拉伸与折叠的操作却保证了系统整体的稳定性。就像揉面团，它很好地解释了这一现象：经过多次的拉伸与折叠后，面团中的碱粉和面团就会充分地混合在了一起，从而导致碱粉的轨道非常混乱，即无处安家却又跑不出去。
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奇怪吸引子
对吸引子独特性质的分析研究，可以使我们了解系统作混沌运动时的一些特别性质。奇怪吸引子又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合，它常常隐藏与混沌现象的背后。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期
[5]
性。混沌轨道就运行在该吸引集中。严格说，混沌吸引子与奇怪吸引子两概念之间还存在一定的区别。奇怪吸引子是指结构具有自相似性，就其静态性质来说的。奇怪吸引子将混沌
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运动的特征初始条件的敏感性和确定性的随机直观地反映出来。奇怪吸引子是轨道不稳定和耗散系统相体积收缩两种因素的内在性质同时发生的现象。在耗散系统当中，当连续流在收缩体积时，一边沿这些地方压缩，另一边又沿其他地方延伸。不过连续流是固定在一个有
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界的区域内，这种伸缩和折叠过程会使运动轨道在奇怪吸引子上产生混沌运动。
分形结构和无限自相似
混沌运动的吸引子有复杂结构，其中的轨道并没有填满整个收缩区，混沌轨道遍布空间中的每一个地方，由于轨道不会相交（混沌系统轨道方向的唯一性，相邻轨道不会相交），所以轨道间会存在间隙。仔细的分析考察轨道，放大轨道的任一小部分，都会呈现出与整体相似的图像，也就是混沌的无限自相似性质。拉伸变换可以使混沌的轨道在空间中密集和遍历，折叠变换可以使吸引子具有层次结构。因此吸引子的层次结构为分形，混沌系统的维数为分维。
分形的介绍
数学定义
分形并不是分形理论产生后才出现的形态，而是在自然和艺术设计中本身就普遍存在
着的，所以分形几何亦被称为“大自然的几何学”。分形一词是芒德布罗于20世纪70年代创造的，表示支离破碎之意。芒德布罗当时只着重从支离破碎（空缺不完整）来理解分形，着重从分形结构的位数取值来定义分形。而后，法尔科内总结了芒德布罗等人的工作后曾提出：
分形集的集合特征主要在两个方面：其一是这种集合在其几乎每一点的每一个领域内，点的分布是凌乱散落、疏稠无归的；其次是这种集合在其几乎每一点都是没有切线的。
之后，芒德布罗于1986提出了关于分形的较新的定义： （1） 分形集具有精细的结构，即有任意小比例的细节；
（2） 分形集是如此的不规则以至它的整体和局部不能用传统的几何语言来描述； （3） 分形集通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的；
（4） 一般的，分形集的分形维数（以某种方式定义）大于它的拓扑位数
（5） 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集常以非常简单的方法定义，可能由迭代
产生。
至今，分形仍没有准确的数学上的定义，只有描述性定义。如今在科学中分形经常以两种不同的方式出现：（1）作为研究不规则过程和形式的一种描述性工具；（2）作为内在混沌动态的一种数学推论。所以，分形的研究一直被各个领域的科学家重视着！
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分形几何艺术美
分形几何具有高度自相似和分维两大特征，它们也正是分形艺术区别与其他艺术的两
大特色，最初这两大特点也都是从几何学的角度提出的。分形的特点主要值得深究的是它的无穷层次的自相似性，即在整体中取出的部分与整体高度相似（部分与整体的关系一直是视觉艺术探讨的重要问题）。这一特点在大自然中有很多例子，在生活中也有很大的应用空间，许多的科学家为分形艺术美而惊叹不已！
下面几种典型或理想的分形结构，让我们一起感受分形所到来的独特美感！
（1）康托尔三分集
是康托尔1883年首先提出的一种最简单的一维空间的自相似结构：取一直线，把它平均分为3份，然后去掉当中一段······如此不断做下去，留下的所有线段就构成了所谓
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的康托尔三分集（如下图所示）。康托尔集构成了一个无穷层次的自相似结构。
康托尔三分集
（1）席尔宾斯基地毯（席尔宾斯基垫片与之相似）
一正方形，等分为9个小正方形并挖去其中间的1个，把剩下的8个正方形的每一个再等分为9个更小的正方形并挖去其中间的1个······如此继续下去，最后也得一个无穷
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层次的自相似结构（如下图所示），称为席尔宾斯基地毯。
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