东北师范大学本科毕业论文
席尔宾斯基地毯
（3）门杰海绵
与构造席尔宾斯地毯类似，由平面发展到立体。将一正方体等分为27个相等的小正方体，挖去每个表面层中间的小正方体（共6个）以及正中间的一个······继续下去，自然得到
[10]
一个自相似结构，如下图所示，这就是门杰海绵。
门杰海绵
（3）科赫曲线和科赫雪花
取一直线段，将它三等分（当然可采取其他分割方式），将中间段作为一等边三角形的两新底边，但只保留边而去掉此底边。表留的两等腰边与原来两侧的线段连起来构成一折线。对此折现的每一段采用同样做法，······如此不断下去，最后得到的折线便称为科赫曲线。
同样，从一等边三角形出发，在它的每一边中间加一边长为原三角形边长的3的小三角形，这样便形成一对称的六角形。再对此六角形的每边以同样方式增加一个小三角形，如
[11]
此继续下去，便得到一个周边具有自相似性的结构，这就是科赫雪花图案。
1
9
东北师范大学本科毕业论文
科赫曲线
科赫雪花
[12]
混沌分形图形所呈现的无穷玄机和美感引发人们不断去探索，不断的学者为之感动。
10
东北师范大学本科毕业论文
就康托尔集讨论混沌与分形的内在联系
20世纪在70年代分形和混沌是两个完全风马不相及的理论，但是随着专家学者的不断研究，发现两者应该存在有很大的内在联系，而后，混沌与分形的内在联系就成为了科学界的一大研究论题。
分形与混沌有着不同的起源，但在非线性科学中又都是非线性方程所描述的非平衡的过程和结果。分形是一种非线性条件下的几何图形，混沌是非线性条件下的奇特现象，二者的联系就是非线性条件下的数形结合，它们就像数学中的代数和几何的关系，这表明它们有着
[13]
共同的数学祖先——动力系统。
分形起源于对不规则集合的研究，而混沌着重于非线性动力系统的研究，简而言之分形是从几何学入手，混沌是从物理学角度理解的。但是他们又有着必然的联系，混沌在研究非线性动力系统不稳定的发散过程中，总是收敛于一定的吸引子，这一过程与分形的形成过程极其相似，而分形是研究吸引子的空间结构。混沌吸引子与分形都具有自相似性，可以看出两者是从不同角度来研究同一问题的。
什么样的混沌过程产生了分形？一直都是现代数学家思考的难题。
下面引入最基本的一维空间自相似结构的康托尔集来说明只要某映射的图像是分形，可
[14]
以导出这个映射一个混沌的，来进一步观察混沌与分形的内在联系。
康托尔集介绍
康托尔集，是由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1878年发现，由德国数学家在1883年引入的。康托尔集是一条线段上的无穷点的集合，图形看似简单但却具有许多显著和深刻的性质。最常见的点集是康托尔三分集：不断去掉一条线段的中间的三分之一而得到。这个无处稠密的完备集的例子，为现代点集拓扑学奠定了基础。 下面详细讲解一下康托尔三分集的构造：
康托尔三分集构造
,2???13，3???，留剩下的取一条长为1的线段[0,1]，将它平均三等分，去掉中间一段开区间
,1?2?0，13???和3，两段闭区间?，再将剩下的两段再分别三等分，去掉中间一段，剩下比刚才
更短的四段，将这样操作一直进行下去，直到无穷，在不断的分割与舍弃过程中，形成的线
段越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，将会得到一个离散的点集，称为康托尔三分集。通过仔细观察康托尔三分集的图形可知：此点集的极限图形长度区域0，线段的数目趋
[15]
于无穷大。假设经过n次分割错作后 得到边数为N：2n
??2?n?得到边长为L：3
11
东北师范大学本科毕业论文
得到康托尔点集分数维D=0.631 （根据公式N(L)=1/DL）
康托尔三分集图形
从图形上可观察到，康托尔三分集具有精细的结构，具有分形特性。
康托尔集的性质特点
通过研究康托尔三分集的图形我们发现：康托尔三分集中有无穷多个点，此点集具有
高度自相似性，局部与整体相似，是一个分形系统。 因此，研究者经过分析研究总结了康托尔三分集具有 （1）自相似性 。 （2）精细结构 。
（3）无穷操作或迭代过程
（4）传统几何学陷入危机。因为它既不满足某些简单条件点的轨迹，也不是任何简单方程的解集，所以用传统的几何语言难以描述。局部同样也难于描述，因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点的存在。 （5）长度为0 。
[16]
（6）简单与复杂的统一 。
我们知道， 产生混沌现象的必备三个条件：对初始条件的敏感依赖性、具有拓扑传递兴致、周期点的稠密性。最简单的一维自相似结构康托尔集符合产生混沌的条件，所以它是混沌的。因此康托尔集既具有分形特性又是混沌的。
12
相关推荐：
loading