2021届浙江新高考数学一轮复习：第七章 2 第2讲 一元二次不等式及其解法

第2讲 一元二次不等式及其解法

1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集 b??

x>?； (1)当a>0时，解集为?x??a

??

??

b??

x0 Δ＝0 Δ<0 Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 有两个相异 实根x1， x2(x1x2} {x|x1

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]

??4－x???，≤01．(必修5P80A组T4改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－x－6≤0}，B＝x???x＋1?

2

那么集合A∩(?UB)＝________．

解析：因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x≥4}，故?UB＝{x|－1≤x<4}，所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤3}．

答案：[－1，3]

2．(必修5P80A组T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________．

1－71＋7

解析：由题意，得3x2－2x－2>0，令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，所以

331－7??1＋7??3x2－2x－2>0的解集为?－∞，∪??，＋∞?.

3??3??

1－7??1＋7??答案：?－∞，∪??，＋∞?

3??3??[易错纠偏]

(1)解不等式时，变形必须等价； (2)忽视二次项系数的符号；

(3)对系数的讨论，忽视二次项系数为0的情况； (4)解分式不等式时，忽视分母的符号． 1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．

3

解析：2x(x－7)>3(x－7)?2x(x－7)－3(x－7)>0?(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所

23??x<或x>7?. 以，原不等式的解集为?x???2?

3??

x<或x>7? 答案：?x??2

?

?

2．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0. 得－4

3．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0解得－4

综上，m的取值范围是(－4，0]． 答案：(－4，0]

2

4．不等式<1的解集是________．

x＋1

时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当

??m<0，

m≠0时，由?

?Δ＝m2＋4m<0，?

解析：

2－（x＋1）2

<1?<0 x＋1x＋1

x－1?>0?x>1或x<－1. x＋1

答案：{x|x>1或x<－1}

一元二次不等式的解法(高频考点)

一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．主要命题角度有：

(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式； (3)已知一元二次不等式的解集求参数． 角度一 解不含参数的一元二次不等式

解下列不等式： (1)－x2－2x＋3≥0；

2??x＋2x，x≥0，(2)已知函数f(x)＝?2解不等式f(x)>3.

?－x＋2x，x<0，?

【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0. 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.

而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．

???x≥0，?x<0，

(2)由题意?2或?2解得x>1.

?x＋2x>3??－x＋2x>3，?

故原不等式的解集为{x|x>1}． 角度二 解含参数的一元二次不等式

(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)． 【解】 因为12x2－ax>a2，

所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. aa

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.

43aa

①当a>0时，－<，

43aa??

x<－，或x>?； 解集为?x?43?

?

?

②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}； aa

③当a<0时，－>，

43aa??

x<，或x>－?. 解集为?x?4?3

?

?

aa??

x<－，或x>?；当a＝0时，不等式的解集综上所述：当a>0时，不等式的解集为?x?43?

?

?

aa??

x<，或x>－?. 为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为?x?4???3

角度三 已知一元二次不等式的解集求参数

11??

－0的解集是?x?3???2

集是________．

11

【解析】 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以

23

???a＝－6，

?1?1?－1解得?

?b＝5.?

?－2×?－3?＝a，

即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2.

【答案】 {x|x≥3或x≤2}

(1)解一元二次不等式的方法和步骤

1b1

－?＝，－＋?2?3?a

(2)解含参数的一元二次不等式的步骤

①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

x??

1．若集合A＝?x?x－1≤0?，B＝{x|x2<2x}，则A∩B＝( )

?

?

?

A．{x|0

?

B．{x|0≤x<1} D．{x|0≤x≤1}

x??

解析：选A.因为A＝?x?x－1≤0?＝{x|0≤x<1}，

?

?

B＝{x|x2<2x}＝{x|0

2．不等式0

22???x－x－2>0，?x－x－2>0，?即?2 2－x－2≤4，??xx－x－6≤0，??

?（x－2）（x＋1）>0，?x>2或x<－1，??即?解得? ???（x－3）（x＋2）≤0，?－2≤x≤3.

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2

3．已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}． (1)求a，b；

x－c(2)解不等式＞0(c为常数)．

ax－b

解：(1)由题知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，

?即?所以a＝1，b＝2.

3

?1＋b＝a.

(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当c＞2时，解集为{x|x＞c或x＜2}；当c＜2时，解集为{x|x＞2或x＜c}；当c＝2时，解集为{x|x≠2}．

一元二次不等式恒成立问题(高频考点)

一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．主要命题角度有：

(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围； (2)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围； (3)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围．

2

b＝，a