基于滑模的精确差分和滤波

滑模控制方法文献学习

基于滑模的精确差分和滤波

1.1 基于滑模的精确差分和滤波

1.1.1 鲁棒精确差分[1]

1.1.1.1 RED （Robust Exact Differentiation）的局限性

1.1.1.2 实用一阶RED

假设

由基信号（base signal）和噪音两部分组成，其中基信号的微分存

。为求取未知基信号的微分，建立如下辅助方程

应用2-滑模算法以保证

，可得到

(0-2) (0-1)

在Lipschtiz常数

1 / 18

滑模控制方法文献学习

其中为待设计常数，为差分器输出。式(0-1)、(0-2)组成系统的解需

结合Filippov sense求解。

定义函数

，其中

为以下方程的解：

(0-3)

其中，

。

。显然，，且实

际中可利用计算机仿真来求解

定理1（收敛性定理）：令分存在Lipschitz常数（态后完全实现。如果收敛到

。

，假设

），那么等式，那么对于有些

的微

将在有限时间暂将无法实现

越小，收敛速度越快，且当

参数充分条件：

值均相同。增大时，减小。以下为

收敛到

时，的

(0-4)

但是以上条件只是较粗糙的估计。以下定理假设收敛性基本条件满足

。

定理2：假设输入信号形式为号且其微分具有Lipschitz常数（与实现。

假设

均在离散时间点进行测量，时间间隔为，令分别为连续

的离散测量时刻和当前时刻，即

，那么离散形式的算法为

和

，

为噪音且

，其中

为可差分基信，那么存在常数

在有限时间内

）使得不等式

(0-5)

2 / 18

滑模控制方法文献学习

定理3：假设暂态后实现数。

1.1.1.3 仿真验证

的微分存在Lipschitz常数

，其中为与

，算法(0-5)可在有限时间和

有关的常

仿真初始时刻设置为行仿真，测量和积分步长均为差分器为当其满足时，

，输出信号初始值，利用Euler方法进

。为与所提出RED进行性能对比，设计线性

，

，其即为理想差分器和低通滤波器串联。令，当

时，

，也即对于任何输入信号，当

，

分别进行仿真对

时，以上参数均可实现精确差分。对输入信号为

比，结果如下图1-1所示。可见，线性差分器不能实现精确差分，而RED可实现高频信号存在时的精确差分。

（a）

3 / 18

滑模控制方法文献学习

（b）

（c）

图1-1 RED和线性差分器对比

另外，当原始信号存在高频测量噪音时，RED差分精度与噪音幅度的开方成正比，可适当加入LPF滤除微分信号中的高频噪音影响。

1.1.2 高阶差分器

1.1.2.1 任意阶RED

文献[1]提出的RED仅为1阶，只能计算输入信号的差分，此文进一步提出了任意阶RED理论。假设输入信号

的阶微分具有Lipschitz常数

为定义在

上的函数，其基信号

，未知噪音有界且Lebesgue可测。本

4 / 18