专题二 三角函数与平面向量
考情分析
三角函数与平面向量在高考中通常有三个小题和一个大题，三角函数主要考点有：一是三角函数的图象与性质；二是两角和与差的三角函数公式；三是解三角形。平面向量主要考点有：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.三角函数与平面向量从难度上属容易题，但对考生计算的准确性、书写规范等方面的要求较高.
第1课时 三角函数的图象与性质
考点展示
π?1?
1.(2017·江苏)若tan?α－?＝6，则tanα＝________.
4??
2.(2016·江苏)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________.
π
3.(17苏北三市三调)若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<2)的图象过点(0，3)，则函数f(x)在[0，π]上的单调减区间是________.
π
4.(17盐城二调)将函数f(x)＝sinx的图象向右平移3个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为________.
5.(17南通十套)函数f(x)＝sinx＋3cosx－a在区间[0，2π]上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
π??
6.(17镇江一调)定义在?0，?的函数f(x)＝8sinx－tanx的最大值为________.
2??
热点题型
题型1__三角函数的求值与化简 π4
【例1】 已知x∈(－2，0)，且cosx＝5，则tan2x＝__________.
5
【变式训练】 已知α为第三象限的角，且cosα＝－5，则tanα＝__________.
π?2??π?
【例2】 已知sin?α＋4?＝10，α∈?2，π?.
????
求：(1)cosα的值；
π??
(2)sin?2α－4?的值.
??
72
【变式训练】 已知tanα＝2，cosβ＝－10，且α，β∈(0，π). (1)求cos2α的值； (2)求2α－β的值.
1
【例3】 如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象
?34?
限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为?5，5?，
??
记∠COA＝α.
(1)求
1＋sin2α
的值；
1＋cos2α
(2)求|BC|2的值.
【变式训练】 如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，→＝OA→＋OP→，四边形OAQP的面积为S.
∠AOP＝θ(0<θ<π)，OQ
→·→＋S的最大值及此时θ的值θ； (1)求OAOQ0
34
(2)设点B的坐标为(－5，5)，∠AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0).
题型2__三角函数的图象与性质
π
【例4】 已知函数f(x)＝－2sin(2x＋4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；
2
π
(2)求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值.
【变式训练】 已函数f(x)＝3(cos2x－sin2x)＋2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期；
ππ
(2)设x∈[－3，3]，求f(x)的值域和单调递减区间.
第2课时 平面向量、解三角形
考点展示
1.(17无锡一调)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则m的值为________.
2.(17南京三调)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为33，则BC的长是________.
→＋DC→·BC→＋AD→＝5，3.(17南京三调)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且AB→·→＝0，则四边形ABCD的面积为________.
ACBD
4.(2016·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三→·→＝4，BF→·→＝－1，则BE→·→的值是________. 等分点，BACACFCE
()()
第4题图 第5题图 →，OB→，OC→的模分别为1，1，
5.(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA→与OC→的夹角为α，且tanα＝7，OB→与OC→的夹角为45°.若OC→＝mOA→＋2，OA
3
→
nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.
114
6.(17南通十套)在斜三角形ABC中，若tanA＋tanB＝tanC，则sinC的最大值为________.
热点题型
题型1__平面向量的数量积
→＝3PD→，
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→·→＝2，则AB→·→的值是________. APBPAD
【变式训练】 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC
→＝λBC→，→＝1DC→，→·→
＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEDF则AEAF
9λ
的最小值为________.
题型2__平面向量与三角函数综合
【例2】 已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
π
【变式训练】 已知向量m＝(3，sinθ)，n＝(1，cosθ)，θ∈(0，2)，m与n共线.
(1)求θ的值；
5π
(2)求函数f(x)＝sinx＋sin(x－θ)在区间上[0，6]的最大值和最小值.
4
题型3__正弦定理、余弦定理的应用
4
【例3】 如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝5，5
cos∠ACB＝，BC＝13.
13
(1)求cosB的值； (2)求CD的长.
【变式训练】 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB
π
＝3，bcosA＝1，且A－B＝6. (1)求边c的长； (2)求角B的大小.
题型4__平面向量与解三形的综合
→·→＝3BA→·→.
【例4】 在△ABC中，已知ABACBC
(1)求证：tanB＝3tanA；
5
(2)若cosC＝5，求A的值.
【变式训练】 已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B
B
为锐角，向量m＝(2sinB，3)，n＝(2cos22－1，cos2B)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
5
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