【考点】RB：几何变换综合题．
【分析】（1）如图1中，连接OP，证明Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）即可解决问题． （2）如图②中，想办法证明OC+OD＝2OA即可解决问题．
（3）设点P的旋转时间为t秒．分四种情形①当0＜t＜12时，不存在．②当12≤t＜21时，如图3﹣1中．③当21≤t＜30时，如图3﹣2中．④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，分别求解即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图①中，连接OP．
∵PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）， ∴PA＝PB．
（2）如图②中，
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∵∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠AOB+∠APB＝180°， ∵∠CPD+∠AOB＝180°， ∴∠CPD＝∠APB， ∴∠APC＝∠BPD，
∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°， ∴△PAC≌△PBD（ASA）， ∴AC＝BD，
∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13， ∴OA＝6.5．
（3）设点P的旋转时间为t秒． ①当0＜t＜12时，不存在．
②当12≤t＜21时，如图3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH， 此时10t﹣120＝2t，
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t＝15．
③当21≤t＜30时，如图3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH＝2t，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH， 此时300﹣10t＝2t， t＝25．
④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH， 此时10t﹣300＝2t， t＝37.5，
综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，
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解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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