2020-2021备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶一元二次方程组

2020-2021备战中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶一元二次方程组

一、一元二次方程

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y?x?1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y?x?1的零点． 己知函数y?x?2mx?2(m?3)(mm为常数)．

2（1）当m=0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且

111???，此时函数图象与x轴的交点分 x1x24别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线y?x?10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

【答案】（1）当m=0时，该函数的零点为6和?6． （2）见解析,

（3）AM的解析式为y??【解析】 【分析】

2

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x-2mx-2（m+3），然后令y=0即

1x?1． 2可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式 【详解】

（1）当m=0时，该函数的零点为6和?6．

（2）令y=0，得△=∴无论m取何值，方程

即无论m取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有由

解得

，．

总有两个不相等的实数根．

∴函数的解析式为令y=0，解得∴A(

)，B(4,0)

．

作点B关于直线y?x?10的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线y?x?10的交点就是满足条件的M点．

易求得直线y?x?10与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（10，?6）

设直线AB’的解析式为y?kx?b，则

?2k?b?01{，解得k??，b??1 10k?b??62∴直线AB’的解析式为y??即AM的解析式为y??1x?1， 21x?1． 2

2．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣则：

2

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t﹣

）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，

+t2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣（+

）

）×（+

）﹣（1﹣﹣

）×

22

（2）因式分解：（a﹣5a+3）（a﹣5a+7）+4 22

（3）解方程：（x+4x+1）（x+4x+3）＝3

【答案】（1）【解析】 【分析】

；（2）（a﹣5a+5）；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2

22

（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．

2

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把

t换为a．

2

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方

程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+

原式＝（1﹣t）（t+

＝t，则： ）﹣（1﹣t﹣

）t＝t+﹣t﹣

2

2

﹣t+t+

＝

2

（2）令a﹣5a＝t，则：

22222

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t+7t+3t+21+4＝t+10t+25＝（t+5）＝（a﹣5a+5） 2

（3）令x+4x＝t，则原方程转化为：

（t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4

2

当x+4x＝0时，

x（x+4）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣4

2

当x+4x＝﹣4时，

x2+4x+4＝0

2

（x+2）＝0

解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

3．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1． 【答案】x1=1+3，x2=1﹣3 【解析】

试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

222

试题解析：整理得：x﹣2x=2，配方得：x﹣2x+1=3，即（x﹣1）=3，

解得：x1=1+3，x2=1﹣3．

4．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？

（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利