1．充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由
p通过推理可以得出
q.这时，我们就说，由
p可
推出q，记作_____，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果“若p，则q”为假命题，那么由q不是p的必要条件.
p推不出q，记作p
q.此时，p不是q的充分条件，
2．充要条件
一般地，如果既有要条件，简称充要条件概括地说，如果
，又有
，就记作_______.此时，我们说，p是q的充分必
q也是p的充要条件.
.显然，如果p是q的充要条件，那么，那么p与q互为充要条件.
注意：（1）判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件
.
.
（2）充分条件、必要条件具有传递性
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
从集合的观点看，设集合若若
，则p是q的充分条件或，则p是q的必要条件或
q是p的必要条件；q是p的充分条件；
，
若A＝B，则p是q的充要条件；
若，且，则p是q的既不充分也不必要条件．
K知识参考答案：
1．2．
K—重点K—难点
充分条件、必要条件的判断
充分条件、必要条件概念的理解，充要条件的证明问题易忽视A是B的充分不必要条件（
A?B且
B）两者的不同
）与A
K—易错
的充分不必要条件是
B（B?A且A
1．充分条件与必要条件的判断
从逻辑关系上看，（1）若p?q，但qp，则p是q的充分不必要条件；
（2）若pq，但q?p，则p是q的必要不充分条件；
（3）若，且，则p是q的充要条件；
（4）若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
充分条件、必要条件的三种判断方法：
（3）集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系.当所要研究的
p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关
或所描述的对象可以用集合表示时，题.
可以借助集合间的包含关系，利用Venn图或数轴解
（4）特殊值法：对于选择题，可以取特殊值来验证充分性或必要性不成立，但这种方法不适用于证明题. 【例1】设{
}是首项为正数的等比数列，公比为”的
A．充要条件C．必要而不充分条件【答案】C 【解析】
“q<0”是“对任意的正整数
n，
”的必要而不充分条件，故选
C.
，故
B．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件
q，则“q<0”是“对任意的正整数
n，
【名师点睛】本题主要考查数列、充分条件与必要条件的相关问题，将数列、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系起来，题.【例2】设
，则“
，且
”是“
”的
体现了综合应用数学知识解决问题的能力，
是基础
A．充分不必要条件C．充要条件【答案】A
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．充要条件的证明
对于充要条件的证明问题：
（1）正确找到题目所包含的条件和结论；
（2）证明时结构要清晰，要对充分性和必要性分别进行证明．
【例3】已知a,b,c是a+b+c=ab+ac+bc.
2
2
2
的三条边，证明:
是等边三角形的充要条件是
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