专题一 数与式
【专题分析】
本专题的主要考点有实数的有关概念，科学记数法，非负数的性质，实数的运算；幂的运算，整式的运算，因式分解；分式的概念，分式的加减，分式的混合运算；二次根式的有关概念，二次根式的性质，二次根式的运算等．中考中数与式的考查一般以客观张题为主，但分式的化简求值经常有开放型题目．数与式的考查常见题型以选择题或填空题为主，整式和分式的化简求值一般以解答题的形式进行考查．数与式在中考中所占比重约为20%～25%. 【解题方法】
解决数与式问题的常用方法有数形结合法，特殊值法，分类讨论法，整体代入法，设参数法，逆向思维法等. 【知识结构】
【典例精选】：
计算：2－1－3tan 60°＋(π－2
?1?
015)＋?－?.
?2?
0
【思路点拨】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零次幂以及绝对值的概念计算即可．
【自主解答】
11
解：原式＝－3×3＋1＋＝－1.
22
把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的
是( )
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y) C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2
【思路点拨】首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 答案：C 规律方法：
利用两种方法结合的分解因式题目，提公因式后不要忘记利用公式法二次分解，分解因式要在规定的范围内分解彻底.
先化简，再求值：(x＋3)(x－3)
＋2(x2＋4)，其中x＝2.
【思路点拨】原式第一项利用平方差公式展开，第二项去括号，合并同类项得到最简结果，将x的值代入计算即可求出代数式的值．
【自主解答】
解：原式＝x2－9＋2x2＋8＝3x2－1. 当x＝2时，原式＝3×(2)2－1＝5. 规律方法：
整式的计算，要根据算式的特点选择合适的方法，可先选择乘法公式展开，然后合并；或先因式分解，然后计算.
m－3
先化简，再求值：2÷
3m－6m5??
?m＋2－?，其中m是方程x2＋3x＋1＝0的根．
m－2??
【思路点拨】在化简时要先算括号里面的，再把除法变为乘法，然后分解因式并约分，最后相乘．
【自主解答】
m－3m2－9解：原式＝÷
3mm－2m－2＝
m－3m－21×＝.
3mm－2m＋3m－33mm＋3
∵m是方程x2＋3x＋1＝0的根，∴m2＋3m＋1＝0， ∴m2＋3m＝－1，即m(m＋3)＝－1， ∴原式＝
3×规律方法：
1.本题采用了整体代入法求解，这是求代数式的值常用的方法，体现了整体思路的应用.
2.分式的化简求值是先化简，再求值；化简时一定要化到最简，结果是最简分式或整式.
【能力评估检测】
1－1
1＝－. 3
一、选择题
1．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm3，则用科学记数法表示该数为( A )
A．1.239×10－3 g/cm3 B．1.239×10－2 g/cm3 C．0.123 9×10－2 g/cm3 D．12.39×10－4 g/cm3 2．下列运算错误的是( B )
?1?0
A. ??＝1 B．x2＋x2＝2x4
?2??b?3bC．|a|＝|－a| D. ?2?＝6
?a?a3
3．下列运算错误的是( D )
a－bA.
b－aC.
2
－a－b＝－1 2＝1 B.
a＋b0.5a＋b5a＋10ba－bb－a＝ D. ＝
0.2a－0.3b2a－3ba＋bb＋a4．下列二次根式中，不能与2合并的是( C ) A.
1
B. 8 C. 12 D.18 2
2
5．若m＝×(－2)，则有( C )
2A．0 15x－1 6．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)下列三个分式2， 2x4m－n母是( D ) A．4(m－n)x B．2(m－n)x2 C. 4x2 3 ，的最简公分 x1m－n D．4(m－n)x2 113 7．已知x－＝3，则4－x2＋x的值为( D ) x22357 A．1 B. C. D. 222 12 【解析】把x－＝3两边同乘x，得x－1＝3x，即x－3x＝1，所以4－xx2 2 2 1 3117 ＋x＝4－(x2－3x)＝4－×1＝. 2222 8．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 第 1个 第2个 第3个 第4个 … … … 根据此规律确定x的值为( ) A．135 B．170 C．209 D．252 【解析】观察前四个表格中的数字，第1个表格中 9＝2×4＋1，第2个表格中20＝3×6＋2，第3个表格中35＝4×8＋3，第4个表格中54＝5×10＋4，且每个表格中左下角的数字是右上角数字的一半，左上角的数字比左下角1 数字小1，所以b＝×20＝10，a＝b－1＝9，x＝20×10＋9＝209.故选C. 2 答案: C 9.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结果为( C ) A．a＋b B．a－b C．b－a D．－a－b 【解析】由图可知，a<0，b>0，所以a－b<0，所以 |a－b|＝－(a－ b)，C正确． 10．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为 (a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C ) A．a2＋4 B．2a2＋4a C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2 【解析】平行四边形的面积为(2a)2－(a＋2)2＝4a2－(a2＋4a＋4)＝4a2－a2 －4a－4＝3a2－4a－4.故选C. 11．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长1 最短”的结论，推导出“式子x＋(x>0)的最小值是2”，其推导方法如下：在 x1 面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边的长为，矩形的周长为 x1?1? 2?x＋?；当矩形成为正方形时，就有x＝(x>0)，解得x＝1.这时矩形的周长 x?x? 1?? 2?x＋?＝4最小， ?x? x2＋9 因此x＋(x>0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子(x>0)的最 xx1 小值是( ) A．2 B．4 C．6 D．10 x2＋99 【解析】∵x>0，∴在原式中分母分子同除以x，即＝x＋，在面积是xx9?? 9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长为，矩形的周长为2?x＋?；当矩 x?x? 9 9?? 形成为正方形时，就有x＝(x>0)，解得x＝3.这时矩形的周长2?x＋?＝12最 x?x? 9 9 小，因此x＋(x>0)的最小值是6.故选C. x答案: C 二、填空题 12．分解因式：9x3－18x2＋9x＝9x(x－1)2 . 13．若式子 2－xx有意义，则实数x的取值范围是x≤2且x≠0 . 1332＋27＝－ . 42 14．计算：－36＋ 15．已知(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，则2b2－4b－a的值为12. 【解析】由题意知，∵(a＋6)2≥0，b2－2b－3≥0.而(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，∴(a＋6)2＝0且b2－2b－3＝0.整理，得a＝－6，b2－2b＝3，∴2b2－4b－a＝2(b2－2b)－a＝2×3－(－6)＝12. 三、解答题 ?1?－1 16．计算：|－3|－12＋2sin 60°＋??. ?3?解：原式＝3－23＋2× 3 ＋3＝3. 2 17．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝3. 3 解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2. 当x＝－1，y＝ 3 时，原式＝－1＋1＝0. 3 1?x2＋2x＋1? ?÷18．先化简，再求值：?1－，其中x＝3－1. x＋2?x＋2? x＋1x＋1 解：原式＝÷ x＋2x＋2 2 ＝ x＋1x＋2 ·x＋2x＋1 2＝1 . x＋1 当x＝3－1时，原式＝19．探究下面的问题： 113 ＝＝. 3－1＋133 (1)在图甲中，阴影部分的面积和为a2－b2(写成两数平方差的形式)； (2)将图甲中的第①块割下来重新与第②块拼成如图乙所示的一个长方形，那么这个长方形的长是a＋b，宽是 a－b，它的面积是(a＋b)(a－b)(写成两个多项式的形式)； (3)由这两个图可以得到的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2(用式子表示)； (4)运用这个公式计算：(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)． (x－2y＋3z)(x＋2y－3z)＝[x－(2y－3z)]·[x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－4y2＋12yz－9z2. 20．如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d(n)，由定义可知：10b＝n与b＝d(n)所表示的b，n两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：d(10)＝1，d(10－2)＝－2； (2)劳格数有如下运算性质： ?m? 若m，n为正数，则d(mn)＝d(m)＋d(n)，d??＝d(m)－d(n)． ?n?根据运算性质，填空： da3 ＝3(a为正数)，若d(2)＝0.301 0，则d(4)＝0.602 0，d(5)＝0.699 da0，d(0.08)＝－1.097. (3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正. x d(x) 1.5 3 5 6 －c 8 3c 9 2b 12 2c 27 3b 3a－b＋2a－a＋1＋a－b3－3a－4a－3－b－6a－c b c 解：(1)1 －2 da33da(2)＝＝3. dada由运算性质可得，d(4)＝0.602 0，d(5)＝d(10)－d(2)＝ 1－0.301 0＝0.699 0，d(0.08)＝－1.097. (3)若d(3)≠2a－b，则d(9)＝2d(3)≠4a－2b，d(27)＝3d(3)≠6a－3b，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾， ∴d(3)＝2a－b； 若d(5)≠a＋c，则d(2)＝1－d(5)≠1－a－c， ∴d(8)＝3d(2)≠3－3a－3c， d(6)＝d(3)＋d(2)≠1＋a－b－c， 表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾． ∴d(5)＝a＋c. ∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为： d(1.5)＝d(3)＋d(5)－1＝3a－b＋c－1， d(12)＝d(3)＋2d(2)＝2－b－2c.
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