2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1：模块综合检测 含解析

模块综合检测

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.如果命题“(p)∨(q)”是假命题,那么下列各结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题. 其中正确的为( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

解析:简易逻辑中复合命题的真假判断,主要依靠真值表.由“或”命题的真值表,“(p)∨(q)”是假命题,得“p”与“q”均为假命题,即p与q均为真命题.故“p∧q”和“p∨q”都是真命题. 答案:A 2.下列说法错误的是( )

A.“sin θ 是 的充分不必要条件

B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”

C.若命题p:?x0∈R 则p:?x∈R,x2-x+1≠0

D.若命题“p”与命题“p∨q”都是真命题,则命题q一定是真命题 答案:A

3.若椭圆 A.5 B.5或8 C.5或3 D.20 解析:由焦距为2,得c=1,讨论焦点在x轴上,还是在y轴上. 当4>m时,由1=4-m,得m=3; 当4

解析:由题可知“对任意x∈ x+2≥0都成立”是真命题, 故a≤3cos x 对x∈ 恒成立.

因为3cos x 当且仅当3cos x 即cos x 时 2cos min=26,所以a≤26,所以实数a的取值范围为(-∞,26].故选A.

答案:A 5.已知函数f(x)=3x5-5x3,则f(x)的单调递减区间为( ) A.(-1,2) B.(-2,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,1)

解析:先求出函数的导函数,再根据导函数的正负判断原函数的单调性. 由f(x)=3x5-5x3,可知f'(x)=15x4-15x2. 令f'(x)=15x4-15x2≤0,可得-1≤x≤1. 故f(x)的单调递减区间为(-1,1). 答案:D 6.若p:a∈R,|a|<1,q:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一根小于零,则p是q的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由|a|<1得-1

的焦距为 则 的值等于

7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 以 为直径的圆与双曲线

渐近线的一个交点为 则此双曲线的方程为

A

C

解析:∵圆的半径r=c 且 即b

∴a2+b2=a2 ∴a2=9,b2=16. ∴双曲线方程为

答案:C 8.若曲线y A.64 解析:∵y

-

则 等于

- 在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为

-

- B.32

- - 切= 切线方程为y C.16 D.8

令y=0,得x=3a;令x=0,得y

- -

由题意得·3a· - 故a=64.

答案:A 9.已知某抛物线型石拱桥,当水面离桥顶2 m时,水面宽4 m,若水面下降1 m,则此时水面宽为( ) A

解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,令抛物线的方程为x2=-2py(p>0),将点(2,-2)代入得p=1,故抛物线的方程为x2=-2y.水面下降1 m对应纵坐标为-3,解得x= 从而水面宽为 m. 答案:B 10.设x,y∈R满足x≤2,y≤3,且x+y=3,则z=4x3+y3的最大值为( ) A.24 B.27 C.33 D.45

解析:由 得0≤x≤2.

- 3

∵z=4x+y3=4x3+(3-x)3=3x3+9x2-27x+27, ∴z'=9x2+18x-27.

令z'=9x2+18x-27=0,得x=1或x=-3.

∵z在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增, ∴z在x=1时取极小值,z(1)=12. ∵z(0)=27,z(2)=33, ∴当x=2时,zmax=33. 答案:C 11.落在平静水面上的石头,使水面产生同心圆形波纹,在持续一段时间内,若最外一圈波的半径r(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系是r=8t,则在2 s末扰动水面面积的变化率为( ) A.512π m2/s B.256π m2/s C.144π m2/s D.72π m2/s

解析:根据题意,可知最外一圈波的面积与时间的关系为S=64πt2,故在t=2时的导数值,即S'|t=2=128πt|t=2=256π. 答案:B 12.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满

足 则 的值为

A

解析:设椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,

则|PF1|+|PF2|=2a1,||PF1|-|PF2||=2a2.

平方相加得|PF1|2+|PF2|2= 又 ∴PF1⊥PF2,

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,

∴

∴ 即

答案:C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 .

解析:由y=xex+2x+1,可知y'=ex+xex+2. 则y'|x=0=3.

故在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x, 即y=3x+1. 答案:y=3x+1

14.下列命题中,正确命题的序号是 .(填序号)

①可导函数f(x)在x=1处取极值,则f'(1)=0;②若p:?x0∈R ≤0,则",p:?x∈R,x2+2x+2>0;

③若椭圆 的两焦点为 弦 过 点 则△ABF2的周长为16.

解析:在命题③中,椭圆焦点在y轴上,a2=25,故△ABF2的周长为4a=20,故命题③错误. 答案:①②

15.若f(x)=ax3-x2-x+1在(1,2)内是减函数,则实数a的取值范围是 . 解析:∵f(x)在(1,2)内是减函数, ∴f'(x)=3ax2-2x-1≤0,x∈(1,2).

∴a≤ 在x∈(1,2)恒成立.

令u

-

∴

∴a≤ 即所求a的取值范围是 -

答案: - 16.设双曲线x

2

|PF1|+|PF2|的取值范围是 .

解析:由题意,知a=1,b 则e

设P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设点P在右支上,由△F1PF2为锐角三角形,可知1

则|PF1| - 由△F1PF2为锐角三角形,知∠F1PF2为锐角, 则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2,

即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x

所以 所以|PF1|+|PF2|=4x∈(

的左、右焦点分别为 若点 在双曲线上 且△F1PF2为锐角三角形,则

答案:(

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知命题p:方程 表示焦点在 轴上的椭圆 命题 函数 在 内单调递增 若 p)∧q为真,求m的取值范围. 解:当p真时,m>2.

当q真时,f'(x)=4x2-4mx+4m-3≥0在R上恒成立. Δ=16m2-16(4m-3)≤0,即1≤m≤3.

∵(p)∧q为真,∴p假,q真. 即1≤m≤2.

∴m的取值范围为[1,2].

18.(12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 解:(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f'(0)=4. 故b=4,a+b=8. 从而a=4,b=4.

(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)· -

令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.

从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0.

故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)内单调递增,在(-2,-ln 2)内单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).

19.(12分)某单位用2 160万元购买了一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,那么每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=解:设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元, 则f(x)=(560+48x)+则f'(x)=48-

. *

=560+48x+(x≥10,x∈N). 购地总费用建筑总面积

令f'(x)=0,得x=15.

当x>15时,f'(x)>0;当10

答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层. 20.(12分)设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 解:(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.

令f'(x)=0得x=-1- ,x=-1+ . 当x∈(-∞,-1- )时,f'(x)<0; 当x∈(-1- ,-1+ )时,f'(x)>0; 当x∈(-1+ ,+∞)时,f'(x)<0.

所以f(x)在(-∞,-1- ),(-1+ ,+∞)内单调递减,在(-1- ,-1+ )内单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.

当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1, 所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.

当00(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.

当0(1-x)(1+x),(1-x)(1+x)-ax-1=x(1-a-x-x),取x0=则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0, 故f(x0)>ax0+1.

当a≤0时,取x0= ,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1. 综上,a的取值范围是[1,+∞).

-

2

2

2

- -

,