同步测试卷
理科数学(十一) 【p305】 (推理证明及数学归纳法) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 则正确的结论是( )
A．①②B．③④C．②③D．①④
【解析】由平面中线的性质，可类比空间中面的性质，即为②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
①在空间中易得反例(可相交)，④反例为(相交)． 【答案】C
2．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提( )
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形
【解析】用三段论形式推导一个结论成立， 大前提应该是结论成立的依据，
∵由“四边形ABCD为矩形”，得到“四边形ABCD的对角线相等”的结论， ∴大前提一定是“矩形的对角线相等．” 【答案】B
1＋x1＋y3．用反证法证明命题“若x，y>0，且x＋y>2，则，中至少有一个小于2”时，
yx假设的内容应该是( )
A．假设B．假设
1＋x1＋y
，都小于2 yx1＋x1＋y，都大于2 yx
1
C．假设
1＋x1＋y
，都大于或等于2 yx
D．以上都不对
1＋x1＋y1＋x1＋y
【解析】由于“，中至少有一个小于2 ”的反面是：“，都大于或
yxyx1＋x1＋y
等于2 ”，故用反证法证明命题：“若x>0，y>0 且x＋y>2，则，中至少有一个yx1＋x1＋y1＋x1＋y
小于2”时，应假设，都大于或等于2，故答案为和都大于或等于2.
yxyx
【答案】C
4．数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1)(n∈N)成立时，从
n
*
n＝k到n＝k＋1右边需增加的乘积因式是( )
2k＋1
A．2(2k＋1) B.
k＋12k＋3
C．2k＋1 D.
k＋1
【解析】当n＝k时，左边＝2×1×3×…×(2k－1)，当n＝k＋1时，左边＝2×3×…×(2k－1)×[2(k＋1)－1]＝2
【答案】A
1
5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
3A.C.
11
B. （n－1）（n＋1）2n（2n＋1）
11
D. （2n－1）（2n＋1）（2n＋1）（2n＋2）
k＋1kk＋1
×1
×1×3×…×(2k－1)×(2k＋1)．
1111111
【解析】由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.3153×5355×7637×91
猜想an＝.
（2n－1）（2n＋1）
【答案】C
6．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i(i＝1，2，3，4)次，每次转动90°，记Ti(i＝1，2，3，4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1. 若x1＋x2＋x3＋x4<0, y1＋y2＋y3＋y4<0，则以下结论正确的是( )
2
A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数 B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数 C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数 D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数
【解析】根据题意可知：(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)>0，又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋
y2＋y3＋y4)去掉括号即得：(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4>0，所以可知T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．
【答案】A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．给出下列演绎推理：“整数是有理数，________，所以－3是有理数．”如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写________．
【解析】由演绎推理三段论可知，整数是有理数，－3是整数，所以－3是有理数． 【答案】－3是整数
8．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i边的边长为ai(i＝1，2，3，4)，此四边a1a2a3a4
形内任一点P到第i边的距离记为hi(i＝1，2，3，4)，若＝＝＝＝k，则h1＋3h2＋
13572S
5h3＋7h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i面的面积记为Si(i＝1，2，3，4)，
kS1S2S3S4
此三棱锥内任一点Q到第i面的距离记为Hi(i＝1，2，3，4)，若＝＝＝＝k，H1＋3H2
1357＋5H3＋7H4＝____________．
【解析】因为平面上的边长与空间中的面积、平面上的面积与空间中的体积可以对应并3V进行类比，所以运用类比推理的思维方式可得：H1＋3H2＋5H3＋7H4＝.
k
3V
【答案】
k
9．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上
3
的数字是________．
【解析】由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．
【答案】1和3
10．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是____________ .
【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列， 且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…， 第2 015行公差为2
2 014
，
－1
故第1行的第一个数为：2×2， 第2行的第一个数为： 3×2， 第3行的第一个数为： 4×2， …
第n行的第一个数为： (n＋1)×2
n－2
10
，
2 015
表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×2【答案】2 018×2
2 015
.
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)(1)已知x∈R，a＝x－1，b＝2x＋2.求证：a、b中至少有一个不小于0.
2
?a＋mb?≤a＋mb. (2)已知m>0，a，b∈R，求证：??1＋m?1＋m?
【解析】(1)假设a<0且b<0， 由a＝x－1<0得－1 所以a、b中至少有一个不小于0. (2)因为m>0，所以1＋m>0， 4 2 2 22
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