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又∵在在∴直线即直线
，中，中，与平面与平面
，
，∴平面.
，
所成角的正弦值为所成角的余弦值为
.1
，
（理）19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点. (1)求证:AO⊥BE:
(2)求二面角F-AE-B的余弦值; (3)若BE⊥平面AOC,求a的值.
19.(1)证明 由△AEF为等边三角形,O为EF的中点,可得AO⊥EF.
因为平面AEF⊥平面EFCB,且平面AEF∩平面EFCB=EF, 所以AO⊥平面EFCB. 又BE?平面EFCB,所以AO⊥BE. (2)解 取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,易知A(0,0,=(a,0,-a),
=(2-a,2
a),E(a,0,0),B(2,2
a,0),则
a,0),由平面AEF与y轴垂直,可设平面
AEF的法向量为n1=(0,1,0).
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设平面AEB的法向量n2=(x,y,1), 由n2由n2
,可得ax-a=0,解得x=
;
,可得(2-a)x+(2a)y=0,
=-,
解得y=-1,所以n2=(,-1,1). 所以cos
由二面角F-AE-B为钝二面角,所以二面角F-AE-B的余弦值为-
(3)解 由(1)知AO⊥平面EFCB,则AO⊥BE,若BE⊥平面AOC,只需BE⊥OC,
又
=(2-a,2=(-2,2
a,0), a,0),
=-2(2-a)+(2
a)2=0,
解得a=2或a=, 由题意易知a<2,所以a= （文）20.(本小题满分12分)已知椭圆C:
=1(a>b>0),过椭圆的上
顶点与右顶点的直线l,与圆x2+y2=相切,且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合. (1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条相互垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求△OAB面积的最小值.
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20.解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线l为
=1,直线与x2+y2=
相切,满足
,且a2-b2=1,
整理可得7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2=(舍去), 故b2=3, 所求的椭圆C的方程为(2)①当两线分别与坐标轴重合时,S△OAB=
=1. 2
②当两线不与坐标轴重合时,由于OA⊥OB,设直线OA为y=kx,则直线OB为y=-x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA的方程为y=kx,与椭圆去y,得
, 用-代换k得
=1联立消,
,
S2=|OA|2·|OB|2=
=
)·(
=
)=
,
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当且仅当k=±1时取等号,又面积为S△OAB=
,综合①②可得三角形的最小
20. (本小题满分12分)已知动圆P过定点M??3,0?且与圆
N:x?3??2?y2?16相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D?3,0?且斜率不为零的直线交曲线C于A， B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ,BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
x25【答案】（Ⅰ）?y2?1（Ⅱ）当定点为Q1?2,0?时，常数为；当定点为Q2??2,0?44时，常数为
1． 20
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