点x1,f（3）f??x1??,?x2,f?x2??连线的斜率都大于（小于）零。 ax?bx?x???a?0,b?0?是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说f??,??x?在?????b?????a???b??在?0,,???上为增函数，??a??1?xax?b??????a???b?,0?上为减函数,在叙a??述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”， 【练7】（1） （潍坊市统考题）f?x??ax??a?0?（1）用单调性的定义判断函数f?x?在
（2）设f?x?在0??0,???上的单调性。x?1的最小值为g?a?，求y?g?a?的解析式。
答案：（1）函数在??1?,????a?1?2??a?1???1?为增函数在?0,?为减函数。（2）y?g?a??? a?a??a?0?a?1??（2）（2001天津） 设a?0且f上的单调性并给出证明。
?x??exa?aex为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在?0,???答案：（1）a?1（2）函数在?0,???上为增函数（证明略）
【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。
例8、（2004全国高考卷）已知函数f?x??ax3?3x2?x?1上是减函数，求a的取值范围。
【易错点分析】f??x??0x??a,b?是f中易误作是充要条件，如f???x?在?a,b?内单调递减的充分不必要条件，在解题过程
2f??x???3x?0。
?x???x3在R上递减，但
2解析：求函数的导数f??x??3ax?6x?1（1）当f??x??0时，f?x?是减函数，则
2f??x??3ax?6x?1?0??a?0x??R故?解得a??3。（2）当a??3时，
???031?8?32（3）当a??3时，f?x???3x?3x?x?1??3?x???易知此时函数也在R上是减函数。
3?9?在R上存在一个区间在其上有f??x??0，所以当a??3时，函数f的取值范围是???,?3?。 【知识归类点拔】若函数f其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①?x?可导，
?x?不是减函数，综上，所求
a
f?(x)?0 6
与f(x)为增函数的关系:f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x在
3(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。②f?(x)?0时，f?(x)?0与f(x)为增函数的关系:若将f?(x)?0的根作为分界点，因为规定f?(x)?0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f?(x)?0。∴当f?(x)?0时，
③f?(x)?0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，f?(x)?0是f(x)为增函数的充分必要条件。
一定可以推出f?(x)?0，但反之不一定，因为f?(x)?0，即为f?(x)?0或f?(x)?0。当函数在某个区间内恒有f?(x)?0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f?(x)?0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对a??3和a??3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。
【练8】（1）（2003新课程）函数y?x?bx?cA、b?0 B、b?0 C、b?0 D、b?0 答案：A
（2）是否存在这样的K值，使函数f上递增？ 答案：k?2?x??0,????是是单调函数的充要条件是（）
?x??kx?2423x?kx?2x?3212在?1,2?上递减，在?2,???12。（提示据题意结合函数的连续性知f??2??0，但f??2??0是函数在?1,2?上递减，
在?2,???上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由f??2??0求出K值后要检验。）
【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。 例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
1a)2+(b+
1b)2的最小值。
错解 :(a+值是8
1a)2+(b+
1b)2=a2+b2+
1a2+
1b2+4≥2ab+
2ab+4≥4
ab?1ab+4=8∴(a+
1a)2+(b+
1b)2的最小
【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
12,第
二次等号成立的条件ab=
1ab，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
7
解析：原式= a2+b2+
1a122+
1b2+4=( a2+b2)+(
12 =(1-2ab)(1+∴原式≥
ab2)+4由ab≤(
aa?b2+
12)2=
b14)+4=[(a+b)2-2ab]+ [(
1a+
1b1)2-
2ab]+4
得：1-2ab≥1-
12=
12,且
12317+4=
252 (当且仅当a=b=
12时，等号成立)∴(a+
1a)2+(b+
ab12b22≥16，1+
1ab25222≥17
)的最小值是。
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三
相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。 （1） （2）
把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
答案为:（1）y?sv?bv?a??0?v?c?（2）使全程运输成本最小，当
2ab≤c时，行驶速度v=
ab；
当
ab＞c时，行驶速度v=c。
【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。 例10、是否存在实数a使函数f明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。 解析：函数f?x??logaax2?x在?2,4?上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说
?x?是由??x??ax2?x和y?loga2??x?复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方
2法（1）当a>1时，若使f?x??logaax?x在?2,4?上是增函数，则??x??ax?x在?2,4?上是增函
?1?2?ax数且大于零。故有?2a解得a>1。（2）当a<1时若使f?x??loga???2??4a?2?0?2?x在?2,4?上是增
?1?4?22,4函数，则??x??ax?x在?不等式组无解。综上?上是减函数且大于零。?2a???4??16a?4?0?所述存在实数a>1使得函数f?x??logaax?x2在?2,4?上是增函数
【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。
8
【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a?0，且a?1试求函数y?loga4?3x?x的的单调区间。
答案：当0?a?1，函数在??1,2??3?3??3??a?1上单调递减在上单调递增当函数在上单调,4?1,?????2?2??2??递增在
?3?上单调递减。
?2,4???（2）（2005 高考天津）若函数f?x??logax3?ax取值范围是（）A、[???a?0,a?1?在区间(?2,0)内单调递增，则a的
1143,1) B、[399,1) C、(,??) D、(1,) 4442答案：B.（记g?x??x?ax，则g'?x??3x?a当a?1时，要使得f3?1?恒成立，所以a?3????.矛盾.排除C、D当0?a?1时，要使f4?2?3?1?成立，所以a?3????4?2?2则需有g'?x??0?x?是增函数，
2?x?是函数，则需有g'?x??0恒
.排除A）
【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性． 例11、已知sinx?siny?13求siny?cosx的最大值
2【易错点分析】此题学生都能通过条件sinx?siny?13将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换
元的思想令t?sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，
解析：由已知条件有siny?13?sinx且siny?213?sinx???1,1?（结合sinx???1,1?）得
?23?sinx?1，而siyn?cxo=s13?sinx?cosx2=?sin2x?sinx?23令
22?2??2?2t?sinx???t?1?则原式=t?t????t?1?根据二次函数配方得：当t??即
33?3??3?sinx??23时，原式取得最大值
49。
【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx2cosx－2a的最大值和
2 9
最小值。
答案：f(x)的最小值为－2a－2
2?12)?(0?a?1?222a－，最大值为?21?2?2a?22a?(a??2?
22)（2）不等式x>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
2答案：a?18,b?36（提示令换元x?t原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为2,b）
??【易错点12】已知Sn求an时, 易忽略n＝１的情况．
例12、（2005高考北京卷）数列?an?前n项和sn且a1?1,an?1?13（1）求a2,a3,a4的值及数列sn。
?an?的通项公式。
【易错点分析】此题在应用sn与an的关系时误认为an?sn?sn?1对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列?an?为等比数列的错误结论。 解析：易求得a2?13,a3?1349,a4?1627。由a1?1,an?1?13sn得an?13sn?1?n?2?故13故该数列从第
an?1?an?13sn?13sn?1?an?n?2?得an?1?43an?n?2?又a1?1，a2??1?n?1??二项开始为等比数列故an??14n?2。
???n?2?????3?3???s1?n?1?【知识点归类点拔】对于数列an与sn之间有如下关系：an??利用两者之间的关系
??sn?sn?1?n?2?可以已知sn求an。但注意只有在当a1适合an?sn?sn?1?n?2?时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。
【练12】（2004全国理）已知数列?an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3????n?1?an?1?n?2?则数列?an?的通项为 。
?1?n?1??答案：（将条件右端视为数列?nan?的前n-1项和利用公式法解答即可）an??n!
??n?2??2【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）
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