由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法
(宁波市北仑中学 竺君祥 315800)
已知递推数列求其数列通项公式，是一类常见的问题，也是教学中的一个难点.本文介绍几种运用数列的递推关系求数列通项公式的几种常用方法.
一．
迭加法
可化为型如an?1?an?f(n)的递推数列，用迭加法求其通项公式.且通项公式为
n?1an?a1??f(k)
k?1证明：
例1： 已知数列{an},其中a1?1，an?1解：由已知得
?an?2n?5，求它的通项公式.
an?1?an?2n?5， 则a2?a1?2?1?5，a3?a2?2?2?5，
a4?a3?2?3?5……an?an?1?2?(n?1)?5，将以上(n?1)个式子相加，得
an?a1?2?[1?2?3???(n?1)]?5(n?1),故
an?a1?n(n?1)?5n?5,于是
an?a1?n2?4n?5,又a1?1即an?n2?4n?4.
二．
叠乘法
可化为型如
an?1?f(n)的递推数列，用叠乘法求其通项公式. an?1，an?1?5nan，求它的通项公式.
例2： 已知数列{an},其中a1解：由已知得
an?1aaaa?5n,则2?5，3?52，4?53，……,n?5n?1, ana1a2a3an?1n(n?1)n(n?1)an1?2?3??(n?1)2将以上(n?1)个式子相乘，得，又a1?1,故an?52. ?5?5a1 三：差分法 可化为型如
?f(k)ak?1nk?g(n)的递推数列，用差分法求其通项公式.
1
例3： 已知数列{an}满足a1通项公式. 解：由已知a1?2a2?3a3?4a4???nan?2n2?n(n?N)，求数列{an}的
?2a2?3a3?4a4???nan?2n2?n，…① 得，当n?1时，a1?3；当
n?2时,a1?2a2?3a3?4a4???(n?1)an?1?2(n?1)2?(n?1)? ②
所以当n?2时，由①-②得：nan?4n?1，即an?4?1,当n?1时也成立.所以,数列{an}的n通项公式为an?4?1. n 四：化归法
把递推数列的递推公式进行适当变形,化归为熟悉的等差或等比数列,再求其通项公式. 例4： 已知数列{an},其中a1 解：因为,a1?1，Sn?1?4an?2，求它的通项公式.
?S1?1，所以,a2?S2?S1?4a1?2?1?5, 因为
,所以
an?Sn?Sn?1?(4an?1?2)?(4an?2?2)?4(an?1?an?2)an?2an?1?2(an?1?2an?2),从而
an?2an?1?2,于是数列{an?2an?1}是以a2?2a1?3为首项，公比为
an?1?2an?22的等比数列,所以
an?2an?1?3?2n?2(n>1),从而
34anan?13an??,所以数列{2n2n?142n}是以首项为
a11?，公差为22的等差数列,于是
an133n?1n3n?1a??2?(3n?1)?2n?2. ??(n?1)?,所以nn42442 例5： 已知数列{an}满足a1 解：设an?1，an?2an?1?3(n?2,n?N)，求这个数列的通项公式.
，即an??an?1?????， ????(an?1??)（?,?为待定常数）
则与已知的递推公式
an?2an?1?3相比较得??2,?????3，所以??3,??2，于是
2的等比数列，于是
an?3?2(an?1?3)，所以数列{an?3}是首项为a1?3?4，公比为
an?3?4?2n?1(n?N),即an?2n?1?3,所以数列{an}的通项公式为an?2n?1?3.
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五、数学归纳法
用数学归纳法求递推数列的通项公式是教学中的重点，其步骤是归纳、猜想、证明. 例6：已知数列{an}中各项均正，且Sn?11(an?)，求数列的通项公式. 2an解：
11S1?a1?(a1?)，又a1?0，所以a1?1；S2?a1?a2?1(a2?1),
2a12a2?1a2，又a2即2?a2111?0，所以a2?2?1；S3?a1?a2?a3?(a3?)，即22?a3?，
2a3a3又a3?0，所以，a3?3?2.,猜想：an?n?n?1（n?N).
?1时，由上述过程知结论正确，
?k(k?1)时结论成立，即ak?k?k?1，则n?k?1时，
证明：①当n ②假设nak?11111111?(a?)?(k?k?1?k?k?1) ?Sk?1?Sk?(ak?1?)?(ak?)k?12ak?122ak?12ak11?(ak?1?)?k 2ak?1所以ak?12?2kak?1?1?0，又ak?1?0，所以ak?1?k?1?k，即n?k?1时成立.
?n?n?1.,所以数列{an}的通项公式为an?n?n?1.
由①，②知对任意n?N，an 3
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