流的含沙量．
则a1＝2kg/m3，b1＝0.2kg/m3，且
bn?1?100an?300bn1100bn?1?200an132（＊） ?an?bn, an?1?＝bn?1?an．
100?30044100?20033????
由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列?an?bn?． 由（＊）可得：
2??122??222??1?133????11?1?nb?nb??ana??a??ana?bnb??????na????a?na??n ?n?1?n?1?n?1?anan?1?anbn??1?n?n?bnbnb?1?1?1?1?1nanb?b??bnb?n??n????3??433??333??3?444????22?3
所以，数列?an?bn?是以a1?b1?1.8为首项，以
1为公比的等比数列． 2
?1?所以，an?bn?1.8????2?n?1．
n?1
?1?由题，令an?bn< 0.01，得???2?78?lg1801?log2180． ．所以，n?1?lg2180由2?180?2得7?log2180?8，所以，n?8．
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01kg/m3． 点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．
六、数列求和综合问题
m的宿舍楼例16 某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30000（每
层的建筑面积相同）。已知土地的征用费为2250元/m，土地的征用面积为第一层的1.5倍。经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/m，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/m。试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。（总费用为建筑费用和征地费用之和）。
22221.5?300002(m)n解：设楼高为n层，总费用为y万元，则征地面积为，征地费用为2250?
n(n?1)31.5?3[400n??30]?2n万元，总费用为 n万元，各楼层建筑费用和为
9
y?[400n?n(n?1)31.5?3?30]??2250?2nn
?15?(3n?675675?77)?15?(23n??77)?2505nn（万元）
675n即n?15时上式取等号
当且仅当
3n?∴ 这幢宿舍楼楼高层数为15时，总费用最少为2505万元
例17 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+
1)万元（n为正整数）. n2（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ .
2
解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+?+(500－20n)=490n－10n；
111500)+(1+2)+?+(1+n)]－600=500n－n－100. 22225002
（Ⅱ）Bn－An=(500n－n－100) －(490n－10n)
2500502
=10n+10n－n－100=10[n(n+1) － n－10].
2250因为函数y=x(x+1) －x－10在（0，+∞）上为增函数，
25050当1≤n≤3时，n(n+1) － n－10≤12－－10<0；
825050当n≥4时，n(n+1) － n－10≥20－－10>0.
162Bn=500[(1+
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 点评：.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解
决实际问题的能力．
1、甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）219.01
10
2. （04年）某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
13解. （专）(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1?128,q?1.5,
(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？
则在2010年应该投入的电力型公交车为a7?a1?q6?128?1.56?1458（辆）。
S128(1?1.5)S??5000（辆）（专）(2)记Sn?a1?a2???an，依据题意，得10000n?S?1。于是，即n1?1.53nn1.5n?65732，
则有n?7.5,因此n?8。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1。 3 3．（05年）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解：（专）（1）设中低价房面积形成数列?an?，由题意可知?an?是等差数列，
其中a1=250，d=50，则 Sn?250n?n(n?1)?50?25n2?225n, 2令25n2?225n?4750, 即n2?9n?190?0,而n是正整数,?n?10. ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. （专）（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
n－1
其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)由题意可知an?0.85bn
有250+(n－1)50>400 · (1.08)· 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
4. （05年）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [解] （专）（1）2005年底的住房面积为
1200(1?5%)?20?1240（万平方米）, 2006年底的住房面积为
1200(1?5%)2?20(1?5%)?20?1282（万平方米）
11
n－1
∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. ?? 6分 （专）（2）2024年底的住房面积为 1200(1?5%)20?20(1?5%)19?20(1?5%)18???20(1?5%)?20 ?? 10分
1.0520?1?2522.64（万平方米） ?1200(1?5%)?20?0.05 ∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. ?? 14分
5. 某地原来每年消耗木材20万立方米，每立方米木材的价格为900元．为了减少木材的消耗保护生态环境，该地政府决定向消费者加收育林费．经预测每加收木材价格t%的育林费，每年的木
20材消耗量就减少
t万立方米．为了既减少木材消耗，又保证育林收入每年不少于2400万元，则t的3取值范围是
（A）[10,30] （B）[20,40] （C）[30,50] （D）[40,60]
6. 某厂在一个空间容积为2000m的密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满60分钟一
3
次性释放出有害气体am，并迅速扩散到室内空气中。每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作。
（1）求第n次释放出有害气体后（净化之前）车间内共有有害气体量为多少？
3
（2）安全生产规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am时才能正常生产。当r=20
时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由。 解（1）∵第一次释放有害气体am，
第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体(a?ar%)m3，??2分 第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体
33
a?(a?ar%)r%?a?ar%?a(r%)2m3，????????3分
??
第n次释放出有害气体后（净化前）车间内共有有害气体
[a?ar%?a(r%)2???a(r%)n?1]m3.??????5分
1?(r%)n3m??????????6分 即a?1?r% （2）由题意，要使该车间能连续正常生产6.5小时，须在第6次释放出有害气体后（净化之前），
3
车间内有害气体总量不得超1.25am，即必须要有
1?(r%)6a??1.25a.??????????10分
1?r%
12
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