2020年湘潭大学561概率论与数理统计(一)考研复试核心题库之证明题精编

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主编：掌心博阅电子书第 1 页，共 33 页

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一、2020年湘潭大学561概率论与数理统计（一）考研复试核心题库之证明题精编

1． 设(X，Y)的联合分布为青岛掌?心博阅电子书

，

其中N是正整数，K，S为非负整数且(1)证明：

；

，在X=K的条件下Y的条件分布为

是(0，1)上的实数，且

。

(2)证明:在Y=S的条件下，X的的条件分布为

；

【答案】(1)X的边缘分布为

因此

Y的边缘分布为

，

得到

； 。

(2)在Y=S的条件下,X的条件分布

即在Y=S的条件下，X的条件分布为在X=Y的条件下，Y的条件分布

即在X=K的条件下，Y的条件分布为

。

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2． 证明离差平方和分解

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其中总离差平方和SSR=

.

，残差平方和，回归平方和

【答案】总的离差平方和

利用

和

，得

再利用

和

得

于是有其中

3． 设随机变量X服从指数分布，即X的密度函数为P(X>s+t|X>s)=P(X>t).

【答案】

4． 验收某种发电机组时，规定需要进行多次启动，要求连续启动成功2次才能接收。设各次启动试验的结果是相互独立的，且各次启动试验成功的概率为p，以X表示被接收之前需进行的启动试验的次数，记X的概率分布为

证明：当

时，

【答案】由于事件{X>k-3}表示在启动试验的次数k-3中没有连续启动成功2次(记为{Y=k-3})，故

当k≥5时，次，故

5． 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布Z=X-Y

(1)求Z的概率密度。

(2)设

与

，其中是未知参数且

，设

表示第k-1，k次启动成功，第k-2次启动不成功，且k-3中没有连续启动成功2

’证明:对于任意的s>0，t>0,有

称为残差平方和，

，

称为回归平方和.

为来自总体Z的简单随机样本，求的最大似然估计量

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【答案】(1)Z的密度为

，

独立。

(2)设似然函数

www.handebook.com ，X，Y独立，

，已知Z=X-Y

(3)证明为的无偏估计量青岛掌ъ心博阅电子书

为来自总体Z的简单随机样本

令则

，

令则即(3)即证因为

，

，

，所以。故

是简单随机样本。

存在，证明

6． 对于两个随机变量V，W，若

这一不等式称为柯西—施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式. 【答案】设任意实数t，定义

的取值非负，由数学期望的性质恒有

即

故

q(t)是t的二次函数，且对任意实数t随机变量故必有

0.

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