2020高考数学大一轮复习第八章立体几何8-6量空间向及其运算教师用书

2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何8-6量空间向及其

运算教师用书

1.空间向量的有关概念

名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

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②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a21＋a22＋a23 a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23 【知识拓展】

(1)向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．

(2)向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．( √ )

(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × ) (5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.( √ )

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1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( ) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案 C 解析 如图，

设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c，

∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.

2．(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A．a∥b，a∥c C．a∥c，a⊥b 答案 C

解析 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a， 所以a∥c.

又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b.故选C.

3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．

32222?答案 和??－，－，?

1052

B．a∥b，a⊥c D．以上都不对

??

解析 因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)． 4．(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________． 答案

2

解析 ||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，

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∴||＝，∴EF的长为.

题型一 空间向量的线性运算

例1 (1)如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示) 答案 a＋b＋c 解析 ＝＋＝＋＋4→OC ＝a＋b＋c.

(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

→解 ＝＋＝＋3AN

2

1

＝＋(－) ＝＋[(＋)－] ＝－＋＋.

1→→

OG＝＋＝－＋＋OC

3

＝＋＋.

思维升华 用已知向量表示某一向量的方法

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

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(2016·青岛模拟)如图所示，在空间几何体

ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)； (2)＋.

解 (1)因为P是C1D1的中点，

→

所以＝＋＋D1P →＝a＋＋2D1C1

1

＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)因为M是AA1的中点， 所以＝＋＝＋→AP ＝－a＋(a＋c＋b) ＝a＋b＋c.

→又＝＋＝＋AA1

＝＋＝c＋a，

所以＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c) ＝a＋b＋c.

题型二 共线定理、共面定理的应用

2019年

例2 (2016·天津模拟)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH；

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)． 证明 (1)连接BG， 则＝＋→BG ＝＋(＋) ＝＋＋→EH ＝＋，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．(2)因为＝－→AE

＝－1

→2AB ＝(－)＝， 所以EH∥BD.

又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.

(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，由(2)知＝， 同理＝，

所以＝，即EH綊FG，

所以四边形EFGH是平行四边形， 所以EG，FH交于一点M且被M平分． 故＝(＋) ＝＋1

→2OG

OG. 2019年

＝[(＋)]＋[(＋)] ＝(＋＋＋)．

思维升华 (1)证明空间三点P，A，B共线的方法 ①＝λ(λ∈R)；

②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)； ③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)． (2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝＋x＋y；

③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥或∥)．

已知A，B，一点O，若点M满足＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解 (1)由题意知＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－) 即＝＋＝－－， ∴，，共面．

C三点不共线，对平面ABC外的任

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(2)由(1)知，，共面且基线过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面． 从而点M在平面ABC内． 题型三 空间向量数量积的应用

例3 (2016·济南模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长；

(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD.

(1)解 设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝＝

|a|2＋|b|2＋|c|2＋2

a＋b＋c2 a·b＋b·c＋c·a

＝＝.

∴线段AC1的长为.

(2)解 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝. ∵＝a＋b＋c，＝b－c，

∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝＝＝＝.

∴cos θ＝＝||＝.

故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明 ∵＝c，＝b－a，

∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，

|b|2－2b·c＋|c|2

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∴⊥，∴AA1⊥BD.

思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；

(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角； (3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶

点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求的长；

(2)求与夹角的余弦值． 解 (1)记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝.

||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝，

→

BD1·＝(b＋c－a)·(a＋b)

＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos〈，〉＝＝.

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即与夹角的余弦值为.

20．坐标法在立体几何中的应用

典例 (14分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点． (1)求的模；

(2)求cos〈，〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M.

思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解． 规范解答

(1)解 如图，建立空间直角坐标系． 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， 所以||＝＝.

[3分]

(2)解 依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)． 所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，

→

BA1·＝3，||＝，||＝，

所以＝.

→→BA1·CB1

cos〈，〉＝→→ |BA1||CB1|

[8分]

(3)证明 依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，

→

A1B＝(－1,1，－2)， →

C1M＝(，，0)．

[10分]

所以·＝－＋＋0＝0， 所以⊥，即A1B⊥C1M. 1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

[14分]

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②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 A

解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.

2．(2016·郑州模拟)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于( ) A．9 B．－9 C．－3 D．3 答案 B

解析 由题意知c＝xa＋yb，

即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)， ∴解得λ＝－9.

3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( ) A．－2 B．－ C. D．2 答案 D

解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.

4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )

2019年 A. B. C．1 D.答案 D

解析 ∵＝＋＋，

3－2 →

∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·ED

＝1＋1＋1－＝3－， 故||＝.

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案 C 解析 如图，

设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c， 所以cos〈，〉＝＝，

所以异面直线a，b所成的角等于60°， 故选C.

6．(2016·深圳模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为( ) A.a C.a 答案 A

解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)． 设M(x，y，z)， ∵点M在AC1上且→AM ＝，

∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，

B.a D.a

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∴x＝a，y＝，z＝. ∴M(，，)， ∴||＝＝a.

7．A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 答案 锐角

解析 因为·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋2 ＝2>0，

所以∠CBD为锐角．

同理∠BCD，∠BDC均为锐角．

8．(2016·南京模拟)设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为______________． 答案 ，，4

解析 如图所示， 取BC的中点E，连接AE.

→

OG＝＝(＋)

12a－a3

aaa

2＋a－2＋－

323

2

＝＋2→AE ＝＋(＋) ＝＋(－＋－) ＝(＋＋)， ∴x＝y＝z＝.

9．(2016·天津模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体， ①(＋＋)2＝32；

1

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②·(－)＝0；

③向量与向量的夹角是60°；

④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|. 其中正确的序号是________． 答案 ①②

解析 ①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；②中，－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中，|··|＝0，故④也不正确．

*10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1.

以上正确说法的个数为________． 答案 3

解析 ＝＋＝＋，＝＋＝＋， ∴∥，

∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，

A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.

①③④正确．

11.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)·； (3)EG的长；

2019年

(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值． 解 (1)设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

→

EF＝＝c－a，＝－a，＝b－c. →

EF·＝·(－a)

＝a2－a·c＝.

(2)·＝(c－a)·(b－c)

＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－. (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c，

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

*12.(2016·沈阳模拟)直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． (1)证明 设＝a，＝b，＝c， 根据题意得，|a|＝|b|＝|c|， 且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D.

(2)解 ∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.

2019年

→

AC′·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

13．(2016·宁海中学模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点． (1)试用a，b，c表示； (2)求证：MN∥平面ABB1A1. (1)解 ∵＝－＝c－a， ∴＝＝(c－a)． 同理，＝(b＋c)，

∴＝－＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b. (2)证明 ∵＝＋＝a＋b， ∴＝，即MN∥AB1，

∵AB1?平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1， ∴MN∥平面ABB1A1.