几个重要不等式竞赛

几个重要不等式(一)

一、平均值不等式

设a1,a2,…, an是n个正实数，则等号

1.二维平均值不等式的变形

，当且仅当a1=a2=…=an时取

(1)对实数a,b有a+b32ab (2)对正实数a,b有

22

(3)对b>0，有， (4)对ab>0有

2

，

(5)对实数a,b有a(a-b)3b(a-b) (6)对a>0,有

(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有

a232ab-b2

(9) 对实数a，b及l10，有二、例题选讲

例1.证明柯西不等式

证明：法一、若或命题显然成立，对10且10，取

代入(9)得有

两边平方得

法二、，即二次式不等式恒成立

则判别式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：

(1)

(2)

证明：(1)左=[]

=

3

(2)由知

同理：

相加得：左3

例3.求证：

证明：法一、取，有

a1(a1-b)3b(a1-b), a2(a2-b)3b(a2-b),…, an(an-b)3b(an-b)

相加得(a1+ a2+…+ an)-( a1+ a2+…+ an)b3b[(a1+ a2+…+ an)-nb]30

2

2

2

所以

2

2

2

2

法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)￡(a1+ a2+…+ an2)(12+12+…+12) =(a1+ a2+…+ an)n, 所以原不等式成立

例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：

2

2

2

证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,

则原不等式即na1a2…an+1￡(1-a1)(1-a2)…(1-an)

n+1

1-a1=a2+a3+…+an+13n

1-a2=a1+a3+…+an+13n

…………………………………………

1-an+1=a1+a1+…+an3n

相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)3n例5.对于正整数n，求证：

n+1

证明：法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：

(1)

(2)

证明：(1)

相乘左边3=(n+1)

2n证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

3 -n+2×n高阶等差数列

一、基本知识

1.定义：对于一个给定的数列{an}，把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn，得到一个新数列{ bn}，把数列bn你为原数列{an}的一阶差数列，如果cn=bn+1-bn，则数列{cn}是{an}的二阶差数列依此类推，可得出数列{an}的p阶差数列，其中p?N