第六章 数据的分析
1 平均数
第1课时 算术平均数与加权平均数
1.掌握算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数的算术平均数和加权平均数.
2.经历数据的收集与处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力;通过有关平均数问题的解决,发展学生的数学应用能力.
3.通过小组合作活动,培养学生的合作意识;通过解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系.
重点
掌握算术平均数、加权平均数的概念. 难点
理解加权平均数的概念,会求一组数据的加权平均数.
一、情境导入
1.课件出示教材第135页第六章的章前文字、章前图和一组问题,引入本章主题. 2.用篮球比赛引入本节课题.
师:篮球运动是大家喜欢的一种运动项目,尤其是男生更是倍爱有加.下面播放一段CBA(中国篮球协会)2005~2006赛季“广东宏远队”和“八一双鹿队”的一场比赛片段,请同学们欣赏.
在学生观看了篮球比赛的片段后,请学生思考: (1)影响比赛的成绩有哪些因素?(心理、技术、配合、身高、年龄等因素)
(2)如何衡量两个球队队员的身高?怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”? 要比较两个球队队员的身高,需要收集哪些数据呢?(收集两个球队队员的身高,并用两个球队队员身高的平均数作出判断)
在学生的议论交流中引入本节课题:平均数. 二、探究新知 1.算术平均数.
(1)课件出示教材第136页提供的中国男子篮球职业联赛 2011~2012 赛季冠、亚军球队队员身高、年龄的表格,提出问题:
“北京金隅队”和“广东东莞银行队”两支篮球队中,哪支球队队员的身高更高?哪支球队队员更为年轻?你是怎样判断的?与同伴进行交流.
学生先独立思考,计算出平均数,然后在小组交流.
解:北京金隅队队员的平均身高为1.98 m,平均年龄为25.4 岁; 广东东莞银行队队员的平均身高为2.00 m,平均年龄为24.1岁. 所以,广东东莞银行队队员的身高更高,更为年轻.
教师小结:日常生活中我们常用平均数来描述一组数据的集中趋势.
1
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数,
n简称平均数,记为x.
(2)课件出示教材第137页“想一想”.
学生经过讨论后可知,小明的做法还是根据算术平均数的公式进行计算的,只是在求相同加数的和时用了乘法,因此这是一种求算术平均数的简便方法.
2.加权平均数.
课件出示教材第137页例题.
引导学生思考讨论:第(1)(2)问中录用的人不一样说明了什么?从而认识由于测试的每一项的
重要性不同,所以所占的比份也不同,计算出的平均数就不同,因此重要性的差异对结果的影响是很大的.
在学生认识的基础上,教师结合例题给出加权平均数的概念:
实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”.例如,在例题中4,3,1分别是创新、综合知识、语言三项测72×4+50×3+88×1
试成绩的权,而称为A的三项测试成绩的加权平均数.
4+3+1
三、练习巩固
教材第138页“随堂练习”第1,2题.
四、小结
引导学生小结算术平均数和加权平均数的概念及运用. 五、课外作业
教材第138~139页习题6.1第1~5题.
教学中以提问的方式导入新课,通过设置的问题引导学生进行自我探索与小组间的合作交流,让学生理解算术平均数的意义,通过例题的讲解,让学生归纳总结出加权平均数的计算方法,加深了学生对加权平均数的理解,教学过程要加强练习,提高学生的计算能力,注意算术平均数与加权平均数的类比,提高学生分析问题和解决问题的能力.第2课时 算术平均数与加权平均数的应用
1.会求加权平均数,体会权的差异对平均数的影响;理解算术平均数和加权平均数的联系与区别,能利用平均数解决实际问题.
2.通过探索算术平均数和加权平均数的联系与区别的过程,培养学生的思维能力;通过有关平均数的问题的解决,发展学生的数学应用能力.
3.通过解决实际问题,体会数学与社会生活的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.
重点
会求加权平均数,体会权的差异对平均数的影响.
难点
理解算术平均数和加权平均数的联系与区别,能利用平均数解决实际问题.
一、复习导入 师:什么是算术平均数?什么是加权平均数?请同学们各举一个有关算术平均数和加权平均数的实例,与同伴进行交流.
在学生的复习交流中引入课题:本节课将继续研究生活中的加权平均数,以及算术平均数和加权平均数的联系与区别.
二、探究新知
课件出示教材第139页学校广播操比赛题.
对于第(1)问,让每一位学生动手计算,然后教师抽取几个不同层次的学生做的结果投影展示,进行评价.
解:一班的广播操成绩为:9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4(分). 二班的广播操成绩为:10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1(分). 三班的广播操成绩为:8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6(分). 因此,三班的广播操成绩最高.
对于第(2)问,让学生先在小组内各抒己见,然后在全班交流体会,归纳:
以上四项所占的比例不同,即权有差异,得出的结果就会不同,也就是说权的差异对结果有影
响.
三、举例分析
小颖家去年的饮食支出为3 600元,教育支出为1 200元,其他支出为7 200元,小颖家今年的这三项支出依次比去年增长9%,30%,6%,小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少?
以下是小明和小亮的两种解法,谁做得对?说说你的理由.
1
小明:(9%+30%+6%)= 15%.
3
9%×3600+30%×1 200+6%×7 200小亮:=9.3%.
3 600+1 200+7 200
学生分组讨论,全班交流,说明理由:
由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等,因此,饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同,它们对总支出增长率的“影响”不同,不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率,而应将这三项支出金额3 600,1 200,7 200分别视为三项支出增长率的“权”,从而求出总支出的增长率所以小亮的解法是对的.
四、练习巩固
1.教材第139页“议一议”.
2.教材第140页“随堂练习”第1,2题.
注意事项:对学生的解题过程和结果做适当的评价,特别要关注中下等生,对他们点点滴滴的进步都要给予鼓励.
五、小结
师:说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别? 教师引导学生比较、议论、交流、总结出结论:
算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况,即算术平均数是加权平均数,而加权平均数不一定是算术平均数.
由于权的不同,导致结果不同,故权的差异对结果有影响.
六、课外作业
教材第140~141页习题6.2的第1~6题.
数学学习不能单纯依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式.本节课的几个教学环节通过想一想、议一议、做一做等数学活动来引导学生探索和交流,体会权的差异对平均数的影响,认识算术平均数和加权平均数的联系与区别.在改变学生学习方式的同时让学生增强数学的应用意识,了解数学的价值,提高思维能力,增进学好数学的信心.2 中位数
与众数
1.掌握中位数、众数的概念,会求出一组数据的中位数与众数;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.
2.通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力.
3.将知识的学习放在解决问题的情境中,通过数据分析与处理,体会数学与现实生活的联系,培养学生求真的科学态度.
重点
理解中位数、众数的概念,会求出一组数据的中位数与众数.
难点
能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.
一、情境导入
师:在当今信息时代,信息的重要性不言而喻,人们经常要求一些信息“用数据说话”,所以对数据作出恰当的评判是很重要的.下面请看一例:
某次数学考试,小英得了78分.全班共32人,其他同学的成绩为1个100分,4个90分,22个80分,2个62分,1个30分,1个25分.
小英计算出全班的平均分为77.4分,所以小英告诉妈妈说,自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”.小英对妈妈说的情况属实吗?你对此有何看法? 引导学生展开讨论,作出评判:
平均数是我们常用的一个数据代表,但是在这里,利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“中上水平”显然是不属实的.原因是全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响,利用平均数反应问题就出现了偏差.
师:怎样说明这个问题呢?我们需要学习新的数据代表——中位数与众数. 二、探究新知
课件出示教材第142页有关某公司员工的收入的题目.
学生四人小组讨论,交流自己的看法,教师对表现积极的学生予以鼓励. 在学生讨论交流的基础上,教师进行点拨:
上述问题中,经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况:
(1)月平均工资2 700元,指所有员工工资的平均数是2 700元,但只有正、副经理的工资比平均工资高,是他们两人的工资把平均工资“拉”高了.
(2)职员C的工资是1 900元,恰好居于所有员工工资的“正中间”(恰有4人的工资比他高,有4人的工资比他低),我们称1 900元是这组数据的中位数.
(3)9个员工中有3个人的工资为1 800元,出现的次数最多,我们称1 800元是这组数据的众数.
师:你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适?
让学生讨论,充分发表不同的观点,然后归纳:用中位数1 900元或众数1 800元表示该公司员工收入的平均水平更合适些,因为平均数2 700元受到了极端值的影响.
结合上述问题的探究,引入中位数、众数的概念:
一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
教师指出:平均数、中位数、众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的“平均水平”. 让学生用中位数、众数的概念解释引例中小英的数学成绩的问题.
注意事项:在问题的讨论中,学生从不同的角度理解问题会有不同的观点,只要学生说得有道理,教师就应给予肯定和鼓励,不可强求结论的一致性.
三、举例分析
1.对于一组数据:3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,下列说法正确的是( ) A. 这组数据的众数是3
B. 这组数据的众数与中位数的数值不等 C. 这组数据的中位数与平均数的数值相等 D. 这组数据的平均数与众数的数值相等 答案:A
2.2011~2012 赛季北京金隅队队员身高的平均数、中位数、众数分别是多少?
四、练习巩固
你课前所调查的20名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数、众数分别是多少?你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋?
五、小结
师:平均数、中位数和众数有哪些特征? 学生讨论交流,师生共同总结特征:
1.用平均数作为一组数据的代表,比较可靠和稳定,它与这组数据中的每一个数都有关系,对这组数据所包含的信息的反映最为充分,因此在现实生活中较为常用,但它容易受极端值的影响.
2.用中位数作为一组数据的代表,可靠性比较差,它不能充分利用所有数据的信息,但它不受极端值的影响,当一组数据中有个别数据变动较大时,可用它来描述这组数据的“集中趋势”.
3.用众数作为一组数据的代表,可靠性也比较差,其大小只与这组数据中的部分数据有关,但它不受极端值的影响.当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一种统计量.
要根据不同的实际需要,确定是用平均数、中位数还是众数来反映数据的平均水平. 六、课外作业
1.教材第144页习题6.3第1,2,3题.
2.收集一组与本班同学相关的生活数据(例如每分钟心跳的次数,眼睛近视的度数、身高、体重等),并选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征.
“学起于思,思起于疑”,思维是从问题开始的.本节课通过问题情境,启发学生思考,引起认知冲突,引导学生逐步深入地揭示新知识、应用新知识.需要注意的是:学生有自己的看法和意见,教师不可一味地否定.教师要关注学生思考问题的过程,千万不要代替学生思考,更不可强加给学生固定的思维模式.让学生在独立思考和合作交流中解决问题,发展数学应用能力.
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