【点评】： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 18．（15分）（2019?温州一模）已知椭圆C的下顶点为B（0，﹣1），B到焦点的距离为2． （Ⅰ）设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；
（Ⅱ）直线l过定点P（0，2）与椭圆C交于两点M，N，若△BMN的面积为，求直线l的方程．
【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】： （I）由椭圆的下顶点为B（0，﹣1）知b=1．由B到焦点的距离为2知a=2．可得椭圆C的方程为
．设Q（x，y），利用两点之间的距离公式及其椭圆的方程可
得|BQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出．
（II）由题设可知l的斜率必存在．由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2．与椭圆的方程联立可得（1+4k）x+16kx+12=0．由△＞0可得M（x1y1），N（x2，y2），
解法一：利用求根公式解出x1，x2，利用解法二：
，B到l的距离
．利用
=，解出k即可．
2
2
．设
==，解出k即可．
【解析】： 解：（I）由椭圆的下顶点为B（0，﹣1）知b=1． 由B到焦点的距离为2知a=2． ∴椭圆C的方程为设Q（x，y），
．
=
=．
∴当时，．
（II）由题设可知l的斜率必存在． 由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2．
2
2
联立消去y得（1+4k）x+16kx+12=0．
由△=（16k）﹣48（1+4k）=16（4k﹣3）＞0
222
．（*）
设M（x1y1），N（x2，y2），则
．
解法一：=．
解法二：，B到l的距离．
=
解得k=1或∴k=±1或
2
=．
均符合（*）式． ．
所求l方程为±x﹣y+2=0与． 【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．（15分）（2019?温州一模）对于任意的n∈N*，数列{an}满足
=n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：对于n≥2，
．
【考点】： 数列与不等式的综合． 【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．
【分析】： （Ⅰ）由，取n=n﹣1得另一递推式，作差后
即可得到n≥2时数列的通项公式，求出首项后验证得答案； （Ⅱ）当n≥2时，由等式．
【解析】： （Ⅰ）解：由
①，
，然后利用等比数列的前n项和证得数列不
当n≥2时，得 ②，
①﹣②得∴
．
．
又
，得a1=7不适合上式．
综上得
（Ⅱ）证明：当n≥2时，
；
．
∴=．
∴当n≥2时，．
【点评】： 本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的通项公式，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．
20．（14分）（2019?温州一模）已知函数f（x）=
+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．
（I）当k＞0时，根据定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增； （Ⅱ）求集合Mk={b|函数f（x）有三个不同的零点}．
【考点】： 根的存在性及根的个数判断． 【专题】： 计算题；证明题；函数的性质及应用．
【分析】： （I）化简当x∈（﹣∞，﹣2）时，明即可；
（II）函数f（x）有三个不同零点可化为方程
，按定义法五步骤证
有三个不同的实根，从而化简
可得方程
2
与
2
；再记u
（x）=kx+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx+（b+2k）x+（2b﹣1），从而转化为二次函数的零点的问题．
【解析】： 解：（I）证明：当x∈（﹣∞，﹣2）时，任取x1，x2∈（﹣∞，﹣2），设x2＞x1．
．
=．
由所设得x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． ∴f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增． （II）函数f（x）有三个不同零点，即方程
，又k＞0，
有三个不同的实根．
方程化为：
2
与
2
．
记u（x）=kx+（b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx+（b+2k）x+（2b﹣1）． （1）当k＞0时，u（x），v（x）开口均向上．
由v（﹣2）=﹣1＜0知v（x）在（﹣∞，﹣2）有唯一零点．
为满足f（x）有三个零点，u（x）在（﹣2，+∞）应有两个不同零点．
∴，
∴b＜2k﹣2．
（2）当k＜0时，u（x），v（x）开口均向下．
由u（﹣2）=1＞0知u（x）在（﹣2，+∞）有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，v（x）在（﹣∞，﹣2）应有两个不同零点．
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