2014年考研数学二真题与答案

2014年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是（ ）

（A）(2,??) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)

??1212???1?【详解】ln?(1?2x)~2?x?，是?阶无穷小，(1?cosx)?~1x?是阶无穷小，由题意可知?2

??1?2???1122所以?的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是

（A）y?x?sinx （B）y?x2?sinx（C）y?x?sin （D）y?x?sin1x21 x【详解】对于y?x?sin，可知limx??1xy1?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?x

x??x??xx应该选（C）

3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ）

（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然

g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f??(x)?0时，曲线是凹

的，也就是f(x)?g(x)，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则F(0)?F(1)?0，且F\(x)?f\(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而F(x)?F(0)?F(1)?0，即F(x)?f(x)?g(x)?0，也就是

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f(x)?g(x)，应该选（D）

?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（ ） 2?y?t?4t?1（Ａ）

1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510 50100y\(1?y'2)32【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K?，曲率半径R?1． K22dxdydy2t?42dy1t?2t,?2t?4，所以??1?，2?本题中??3，

dtdtdx2tt2tdxt?对应于t?1的点处y'?3,y\??1，所以K?应该选（C）

5．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf'(?)，则limx?0y\(1?y'2)3?11010，曲率半径R?1?1010． K?2x2?（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

121 （Ｃ） （Ｄ）

3321133x?0时,arctanx?x?x?o(x)． ，（2）231?x【详解】注意（1）f'(x)?由于f(x)?xf'(?)．所以可知f'(?)?1f(x)arctanxx?arctanx2，， ????xx1??2(arctanx)213x)?o(x3)13?． 3x3limx?0?2x2?limx?0x?arxtanx?limx(arctanx)2x?0x?(x??2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及

?x?y?2u?2u． ?2?0，则（ ）2?x?y

（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

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