第一讲 探寻规律解决问题
·知识引领·
探寻给定事物中隐含的规律，在分析、猜想、归纳中寻求最佳的解决问题的策略．
·经典题例·
例1 如下表，表格中的数是按一定规律排列的，按此规律在空格处填上相应的数．
5 7 11 19 35 解析 观察规律得
5×2－3＝7，7×2－3＝11，11×2－3＝19，19×2―3＝35，…，
得出规律为an＋1＝2an―3，这样空格处的数应为35×2－3＝67，67×2－3＝131．
例2 如图，填在图中三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，填出B、C，然后确定A，那么A是几？
9 1 20 2 A 3
2 3 3 4 B C
解析 观察前面两个正方形内有3个连续的自然数，那么第三个正方形也有这样的规律，所以，B＝4，C＝5．
又发现前面两个正方形内左上角的数是右下角的数乘以另两数和的积，则A＝5×(3＋4)＝35．
例3 计算：2000＋1999―1998―1997＋1996＋1995―1994―1993＋?＋8＋7―6―5＋4＋3―2―1
解析 算式中共有2000个数相加减，规律是两加两减，根据算式和数的特征，正好把这2000年数按照每4个数（两加两减）分为一组，共可分为2000÷4＝500（组），每组的得数都是4，所以，原式的结果为500个4之和．
例4 自然数1，2，3，4，?排成下面的数阵：
第一行 1 2 3 4 第二行 3 4 5 6 第三行 5 6 7 8 第四行 7 8 9 10
??
那么48排在数阵的第几行？左起第几个位置？
解析 观察这个数阵中的排列规律知：
①每行的第2列数都是偶数，并且是每行序数的2倍； ②每行的4个数是4个连续自然数从小到大排列的； ③除2以外，其他偶数出现2次．
那么48会在2个位置出现，由48÷2＝24，即48可能在24行左起第2个位置，也可能在第23行
1
左起第4个位置．
例5 如图，按照图中排列的规律，问：第11行最左边的数是几？
1 第1行
2 3 4 第2行
5 6 7 8 9 第3行
10 11 12 13 14 15 16 第4行
? ?
解析 观察图中排列的规律，得出：每一行最右边的是一个平方数，恰好是行数×行数．第10行最右边数是10×10＝100．因此，第11行最左边的数是100＋1＝101．
·应用与探究·
１．24，21，18，15，( 12 )，( 9 )．
２．2，17，4，14，6，11，( 8 )，( 8 )．
３．下面方格内都有一个数字，并且相邻两格内的数相加，和都是14，这八个数的和是多少？第四个方格内应该填的数字是几？（8×4＋6×4＝56） 8 6 8 6 8 6 8 6
４．细菌第一个小时繁殖2个细菌，第二个小时繁殖3个细菌，第三个小时繁殖6个细菌，第四个小时繁殖7个细菌，第五个小时繁殖14个细菌，则第六个小时繁殖多少个细菌？
（15个）
５．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：
2，6，18，54，( 162 )
６．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：
4，6，10，18，( 34 )
７．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：
1，6，5，10，9，14，( 13 )，( 18 )
８．●●?●●?●●???第99个图案是什么？（?）
９．观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：
2
15 26 20 41 34
30 13 40 17 82
１０．观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数： 6 56 9
4 7 30
5 42 8
１１．以下是一组按特定规律排列的数列：
1，1，2，1，1，2，3，2，1，1，2，3，4，3，2，1，??
由左至右第100个数是几？（1）
解：1＋3＋……＋17＋19＝100
１２．如图，一次智力测验，主持人亮出四块长方形牌子，在牌子④中，空白处表示的数应是多少？ 247 363 465 426 25 17 38 23 47 15 45 36
① ② ③ ④
１３．有一串数：1，2，4，7，11，16，?，它的规律是：由1开始，加1，加2，加3，?，依次逐个产生这串数，直到产生第50个数为止．那么在这50个数中，被3除余1的数有多少个？(33个)
解：50÷3＝16……2, 16×2＋1＝33（个）
１４．小华每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟还有5个没有破，经过两分半钟肥皂泡全部破了，小华在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有多少个？ 解:100＋50＋5＝155（个）
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第二讲 速算与巧算
·知识引领·
在平时的计算过程中，我们可以通过寻求运用定律和性质，进行简算或巧算．而速算与巧算需掌握的常用方法有：分解或合并，利用特殊数，添括号或去括号等等．
·经典题例·
例1 计算：25×96×125
解析 在计算乘、除法时，我们通常可以运用2×5、4×25、8×125来进行巧妙的计算． 原式＝25×4×3×8×125
＝(25×4)×3×(8×125) ＝100×3×1000 ＝300000
例2 计算：1234＋3142＋4321＋2413
解析 数字1，2，3，4在个位、十位、百位、千位上均各出现一次． 原式＝1111＋2222＋3333＋4444 ＝1111×(1＋2＋3＋4) ＝1111×10 ＝11110
例3 计算：214×670＋7860×67
解析 本题可以运用“积不变的规律”，即“一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变”的规律求解．
解法一 原式＝2140×67＋7860×67 解法二 原式＝214×670＋786×670 ＝(2140＋7860)×67 ＝(214＋786)×670 ＝1000×670 ＝10000×67
＝670000 ＝670000
例4 用简便方法计算：99999×77778＋33333×66666
解析 33333×66666＝33333×3×22222＝99999×22222 原式＝99999×77778＋33333×3×22222 ＝99999×(77778＋22222) ＝99999×100000 ＝9999900000
例5 计算：3÷(5÷7)÷(7÷11)÷(11÷15)
解析 观察发现，算式中每个括号里的除数都是下一个括号里的被除数，根据运算性质a÷(b÷c)＝a÷b×c,计算时可以消去括号．
原式＝3÷5×7÷7×11÷11×15 ＝3÷5×15 ＝3×15÷5 ＝9
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