第十节 导数的概念及运算
[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.123
能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x，y＝x，y＝x的导数.4.能利
x用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
y′|x＝x0 ，即f′(x0)＝
＝.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝
liΔm x→0
fx＋Δx－fx
为f(x)的导函数．
Δx
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a＞0) f′(x)＝ex f′(x)＝ xln a1f(x)＝ln x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
f′(x)＝ x1(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
?fx?′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．
?2[gx]?gx?
[常用结论]
1．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者
P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．
( )
( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (4)若f(a)＝a＋2ax－x，则f′(a)＝3a＋2x. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
32
2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人
3
2
2
t在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
A.
1917 B. 44
1513
C. D.
44
3
D [由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－2，故当t＝2时，机器人的瞬
t313
时速度为v(2)＝2×2－2＝.]
24
3．函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x B [y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，故选B.] 4．若f(x)＝xe，则f′(1)＝________. 2e [f′(x)＝e＋xe，则f′(1)＝e＋e＝2e.]
xx1
1
xsin x5．曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程为________．
xxcos x－sin xπcos π－sin π1x＋πy－π＝0 [y′＝，则y′|x＝π＝＝－，则切线22
xππ
1
方程为y＝－(x－π)，即x＋πy－π＝0.]
π
导数的计算 1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( ) A．e B．1
2
C．ln 2 D．e
B [f′(x)＝2 018＋ln x＋1＝2 019＋ln x，则f′(x0)＝2 019＋ln x0＝2 019，解得
x0＝1，故选B.]
2．已知f(x)＝x＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
－4 [f′(x)＝2x＋2f′(1)，则f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2 所以f′(x)＝2x－4，则f′(0)＝－4.] 3．求下列函数的导数． cos x(1)y＝x；
e(2)y＝x－sincos ；
22(3)y＝xe
2x－1
2
xx.
xxcos x?cos x′e－cos xe′sin x＋cos x?[解] (1)y′＝?x?′＝＝－. x2xee?e?
11
(2)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.
22(3)∵y＝exe，∴y′＝e(2x·e＋xe)＝e
－12x－1
x2xx－1
(x＋2x)．
2
[规律方法] 导数运算的常见形式及其求解方法 连乘积形式 公式形式 对数形式 根式形式 三角形式 含待定系数 先展开化为多项式的形式，再求导 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 先化为和、差的形式，再求导 先化为分数指数幂的形式，再求导 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导 导数的几何意义 ?考法1 求切线方程 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x＋(a－1)x＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x C．y＝2x
B．y＝－x D．y＝x
3
2
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线
l的方程为________．
(1)D (2)x－y－1＝0 [(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x＋x，f′(x)＝3x＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0)． 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
??y0＝x0ln x0，∴由?
?y0＋1＝1＋ln x0?
3
2
x0，
解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1， 即x－y－1＝0.] ?考法2 求切点坐标
【例2】 设函数f(x)＝x＋ax.若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0) C．(－1,1)
3
2
2
3
2
B．(1，－1)
D．(1，－1)或(－1,1)
D [由f(x)＝x＋ax得f′(x)＝3x＋2ax，记y0＝f(x0)，
x0＋ax0＝y0，①??
由题意可得?x0＋y0＝0，②
??3x20＋2ax0＝－1.③
3
2
32
22
由①②可得x0＋ax0＝－x0，即x0(x0＋ax0＋1)＝0.④ 由③可得3x0＋2ax0＋1＝0.⑤
由⑤可得x0≠0，所以④式可化为x0＋ax0＋1＝0.⑥ 由⑤⑥可得x0＝±1，代入②式得
??x0＝1，
?
?y0＝－1?
2
??x0＝－1，
或?
?y0＝1.?
即P(1，－1)或P(－1,1)．故选D.]
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