全国通用2018高考数学大一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布习题理

P(ξ=3m)=×()=

3

P(ξ=-m)=×()=

3

;

所以E(ξ)=×m+×2m+×3m+×(-m)

=-m.

显然E(ξ)<0,因此建议大家不要尝试.

15.导学号 18702607现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1

分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率;

(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).

解:(1)记“该射手恰好命中一次”为事件A;“该射手射击甲靶命中”为事件B;“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C;“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D. 由题意知,P(B)=,P(C)=P(D)=,

由于A=B ∪C ∪ D,根据事件的独立性与互斥性得 P(A)=P(B ∪ C ∪ D) =P(B )+P( C)+P( D)

=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=. (2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得

P(X=0)=P( )=(1-)×(1-)×(1-)

=,

5

P(X=1)=P(B )=×(1-)×(1-)=,

P(X=2)=P( C )+P( D)

=(1-)××(1-)×2

=,

P(X=3)=P(B C )+P(B D)

=××(1-)×2

=,

P(X=4)=P( CD)=(1-)××=,

P(X=5)=P(BCD)=××=. 故X的分布列为

X P 0 1 2 3 4 5 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

好题天天练

1.导学号 18702608从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为,,,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为( C ) (A)

(B) (C)

(D)

解题关键:三次摸球相当于三次独立重复试验,随机事件“颜色中有红有白但没有黄”的情况为“1红2白,2红1白”,按照二项分布概率模型求解即得.

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解析:从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有黄,包含的情况有两种:1红2白,2红1白.则所求概率为P=××()+×()×=.故选C.

2.导学号 18702609如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7,每次射击的结果相互独立,2

2

那么他在15次射击中,最有可能击中目标的次数是( B ) (A)10 (B)11 (C)10或11 (D)12

解题关键:P(X=k)≥P(X=k-1)且P(X=k)≥P(X=k+1),解不等式即得. 解析:最有可能击中目标的次数即击中概率最大的次数.根据二项 分布, P(X=k)=

0.7k

0.3

15-k

,根据题意,

P(X=k)≥P(X=k-1)且P(X=k)≥P(X=k+1), 即

0.7k

0.3

15-k

≥0.7k-10.3

16-k

且0.7k0.3

15-k

≥0.7k+1

0.3

14-k

,

解得10.2≤k≤11.2, 所以k=11.

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