一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
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4、利用平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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5、利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
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② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。
?∥?a????a??a?（三）平面与平面垂直的证明
1、利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2、看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。 3、利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 ?aa??a??
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5
课题3：平行常用方法讲解
一、平行四边形法
【2016新课标Ⅲ理】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；
【解析】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG， ∵N为PC的中点， ∴NG∥BC，且NG=又AM=
，
，BC=4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM=BC，
则NG∥AM，且NG=AM，
∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG， ∵AG?平面PAB，NM?平面PAB， ∴MN∥平面PAB； 法二、
在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME， 在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=∵AD∥BC， ∴cos
，则sin∠EAM=
，
，
在△EAM中， ∵AM=
，AE=
，
=
，
由余弦定理得：EM=
∴cos∠AEM=，
而在△ABC中，cos∠BAC=，
6
∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC， ∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC， ∴NE∥PA，则NE∥平面PAB． ∵NE∩EM=E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB； 【2016天津（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；
【解析】（1）证明：取AD的中点I，连接FI， ∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB， ∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．
∵O是正方形ABCD的中心， ∴OB=BD． ∴EF∥GI，EF=GI， ∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI， ∵EG?平面ADF，FI?平面ADF，∴EG∥平面ADF；
【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
【解析】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD， ∵BC=CD=AD，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB?平面PAB，
∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．
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【2015福建理】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；
解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD， ∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB， 又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，
∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF， ∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，
又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．
二、利用三角形中位线的性质
【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F； 【2016天津（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；
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