【解析】（1）证明：取AD的中点I，连接FI， ∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB， ∵G，I是中点， ∴GI∥BD，GI=BD．
∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI， ∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI， ∵EG?平面ADF，FI?平面ADF， ∴EG∥平面ADF； 【2015江苏理】——超易
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；
【解析】根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC； 又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C；
【2014课标全国Ⅱ 理】如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
【解析】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO， ∵O为BD中点，E为PD中点， ∴EO∥PB，（2分）
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
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【2013课标全国Ⅱ，理18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝
2AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD； 2【解析】(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD
.
(4)利用对应线段成比例
【例1 】如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且
AMBN=， SMND求证：MN∥平面SDC
分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形
三、利用面面平行
【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
【解析】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH， ∵G、H为EC、FB的中点，
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∴GQ又∵EF
，QH∥BO，∴GQ
， BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．
【2014?北京理】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；
【解析】证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE. 又因为AB?平面PDE，所以AB∥平面PDE.
因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG. 【2015?山东理】——也可用中位线
如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
【解析】（Ⅰ）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC；∴EF∥BH，且EF=BH； ∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF?平面FGH，BE?平面FGH；∴BE∥平面FGH； 同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；
又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E； ∴平面BDE∥平面FGH，BD?平面BDE；∴BD∥平面FGH； 19．（13分）（2015?安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F． （Ⅰ）证明：EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．
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（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴B1C∥A1D，
又∵B1C?平面A1EFD， ∴B1C∥平面A1EFD，
又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF， ∴EF∥B1C；
【2013山东，理18】如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；
【解析】(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， 所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.
又EF平面PCD，DC?平面PCD， 所以EF∥平面PCD.
又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
课题4：垂直常用方法讲解
一、 应用勾股定理
如果一个三角形的边长满足a【例1】如图1所示，点
2?b2?c2，则这个三角形是直角三角形，可以得到线线垂直的关系.
P是梯形ABCD所在平面外一点，PD?平面ABCD，AB∥CD，已知
BD?2AD?8，AB?45.设M是PC上的一点,求证:BD?平面PAD.
PMDCA
图1
B
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