证明:∵PD?平面
ABCD,BD?平面ABCD∴BD?PD.
又∵BD?8,∴∠
AD?4,AB?45, ∴AD2?BD2?AB2,
ADB?90?,∴BD?AD
又∵PD?平面PAD,AD?PAD,PD?AD?D. ∴BD?平面PAD.
【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB?5，AC?6，点E，
F分别在AD，CD上，AE?CF?（I）证明：D?H?平面ABCD；
5，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D?EF的位置OD??10. 4
【解析】⑴证明：∵AE?CF?AECF5?， ∴， ∴EF∥AC． ADCD4∵四边形ABCD为菱形， ∴AC?BD， ∴EF?BD， ∴EF?DH， ∴EF?D?H． ∵AC?6， ∴AO?3；
又AB?5，AO?OB，∴OB?4， ∴OH?222AE?OD?1， ∴DH?D?H?3， AO∴OD??OH?D'H， ∴D'H?OH． 又∵OHIEF?H， ∴D'H?面ABCD．
【2013天津理17】(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；
【解析】 (1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1C1.
经计算可得B1E＝5，B1C1＝2，EC1＝3，
22从而B1E2＝B1C1?EC1，
所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，
又CC1，C1E?平面CC1E，CC1∩C1E＝C1， 所以B1C1⊥平面CC1E，
又CE?平面CC1E，故B1C1⊥CE.
【2012课标理】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=（1）证明：DC1⊥BC；
13
1AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。 2C1B1A1D
【解析】（1） 设AC=1,则BC=1，A A1=2,CC1=2 DC=2,DC1=2 ∴DC2+DC12=CC12
∴DC1?DC。
又DC1⊥BD，DCBD?D，
所以DC1?平面BCD。
而BC?平面BCD，所以DC1?BC。
【2011大纲理】如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1 ∴AD=
=
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2 ∴SA=2
∵SD=1 ∴AD=SA+SD∴SD⊥SA 同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB ∴SD⊥平面SAB
2
2
2
二、 应用等腰(等边)三角形三线合一
所谓三线合一是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以得到线线垂直,从而线面垂直
O所在平面，AB是O的直径，C是O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA?AC，点E是线段PC的中点.求证：AE?平面PBC.
证明：∵PA?O所在平面，BC是O的弦，∴BC?PA.
又∵AB是O的直径，?ACB是直径所对的圆周角，∴BC?AC.
【例】如图2所示，已知PA垂直于 ∵PA ∴BCP E AC?A,PA?平面PAC，AC?平面PAC.
?平面PAC，AE?平面PAC，∴AE?BC. ∵PA?AC，点E是线段PC的中点.∴AE?PC. 图2 C ∵PCBC?C,PC?平面PBC，BC?平面PBC. ∴AE?平面PBC.
此题利用AE三线合一是解题的关键,在遇到线段的中点时,要注意向三角形的三线合一转化.同时应用了圆的直径所
对的圆周角是直角这个重要的结论.
A O B
【2016浙江（理）】——难
如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3， （Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；
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【解析】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°， ∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， ∴BF⊥平面ACFD．
【2015北京理】如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
【解析】（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点， ∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF， ∴AO⊥平面EFCB ∴AO⊥BE． 【2015?重庆理】如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=BC上的点，且CD=DE=
，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
．D，E分别为线段AB，
【解析】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，∴PC⊥DE， ∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD
【2013课标全国Ⅰ理18】(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；
【解析】证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.
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因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
【2014新课标1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1；
【解析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO， ∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点， 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，
∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1
三、 应用两条平行线的性质
两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可
得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行。
ABC所在平面外一点, BC?平面PAB,G为PB的中点,M为PC的中点,N
AB上,AN?3NB,求证:AB?平面MNG. P 证明:取AB的中点H,连结PH.
M ∵G为PB的中点,M为PC的中点,
∴GM为△PBC的中位线,∴GM∥BC.
G ∵BC?平面PAB,AB?平面PAB,
C A ∴BC?AB,∴AB?GM.
H 又∵PA?PB,H为线段AB的中点,∴AB⊥PH. N B
图3 ∵G为PB的中点, N为HB的中点,∴PH∥GN.∴AB⊥GN.
∵GM?GN?G,GM?平面MNG,GN?平面MNG, ∴AB?平面MNG.
【例】如图3所示,P为△
四、 应用平面图形的几何性
在
【例】如图4所示,四边形ABCD是边长为1的菱形,点P是菱形ABCD所在平面外
一点，∠
BCD?60?,E是CD的中点,PA?平面ABCD,求证:BE⊥平面
C
P
PAB.
证明:∵PA?平面ABCD,BE?平面ABCD,
∴BE?PA,如图5所示,
∵底面ABCD是的菱形,∠BCD?60?, ∴∠ABD?60?.
∵E是CD的中点,∴∠DBE?30?,
∴∠ABE??BCD??DBE?60??30??90?, ∴BE?AB.
∵PA?AB?A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,
∴BE⊥平面PAB.
E
B 30?
60?
A
D
A D E
C
图5
B
图4
16
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