第一、二讲 直角三角形之勾股定理专题
一、对三角形的研究分类：
按边分研究： 按角分研究：
二、就特殊性对直角三角形的研究。 1、 角之间的性质
2、 边之间的性质：不等关系 特殊关系
3、 研究方法：拼图法、网格法、面积法 三、定理的提出与引申
1、a2+b2=c2 （三角形的边的称谓和定义表示规律）
2、勾股数的引入：符合公式的正整数称之为勾股数。常见的勾股数一定要记住，并研究其内在的规律和形式。 勾股数的推算公式
① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。
k2?1k2?1
② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
22
?K??K?③ 如果k是大于2的偶数，那么k, ???1,???1是一组勾股数。
?2??2?④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
3、识记1---22的平方 4、研究课本第11页对不同三角形的研究三边所具有的关系，作为判定三角形形状的方法。 6、会利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状。
如果三角形的三边长为a,b,c，满足a?b?c，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c）
②计算c与a?b，并验证是否相等。 若c=a?b，则△ABC是直角三角形。 若c≠a?b，则△ABC不是直角三角形
7、处理课本后的习题，对三边的变形规律的探讨研究，三边同时乘以相同的一个正数，勾股定理仍然成立，即三角形仍为直角三角形；若三边同时加上一个适当的数，形状又如何？减去一个适当的数呢？ 四、直角三角形的勾股定理的应用 1、建立图形由已知求未知的边
2、利用面积的变化求另外图形的面积3、梯子问题的处理
4、方向角问题 5、噪音问题6、特殊的直角三角形的关系探究及应用 7、最短距离问题。 知识精练与巩固： 一、选择题
1
222222222222221、在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论中恒成立的是 ( )
2222
A、2ab
2
2、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A、5 B、25 C、7 D、15
3、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A、4个 B、5个 C、6个 D、8个
4、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角
222
形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a∶b∶c=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、②④ 一、相信你一定能选对！
1. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m+ n, m–n, 2mn（m，n均为正整数,m?n）；④
2
2
2
2
a2,a2?1,a2?2.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
2. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A．a:b:c=8∶16∶17 B． a-b=c C．a=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12 3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A．5
B．25
C．7
D．25或7
2
2
2
2
*4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm
2
B. 36cm
2
C. 48cm
2
D. 60cm
2
5. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定 *6．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b)的值为（ ）A 13 B 19 C 25 D 169 7. 如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90，则四边形ABCD的面积是（ ）cm。A 84 B 36 C 25.5 D 无法确定 8. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
/
/
2
0
2
2
C'DACA
EDBB
C二、你能填得又快又对吗？ 1. 在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则AB+AC+BC=_______． 2．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
3.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,
把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 4.在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________.
5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________。
*6.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD=____________. 7.已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______.
2
222B200mCDCB C D A 520mAOB7cm
A8. 在△ABC中,∠C=Rt∠.若a=5,c=13.则b= .若c=61,b=11，则a= .若a:c=3:5且c=20，则b= .
9.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm．
三、填空题
1、 利用两个直角三角板拼成一个四边形，求对角线的长。（三边分别为6、8、10） 2、 已知三角形ABC的周长是12，三边a、b、c满足a+c=2b,a-c=2，那么此三角形
是什么三角形？
3、 若直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线长为1，则此三角形的面积为
3
2
________
4、 四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13,BC=3,CD=12.求此四边形的面积。 5、 若直角三角形的边分别为a,a+b,a+2b,求a:b.
6、 若三角形ABC的三个内角的比为1：2：3，则三角形的三边之比为：__________ 7、 已知直角三角形的两边分别为5和3，则此直角三角形的周长为：____________ 8、 分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于
较大的半圆面积，则这个三角形为_____________
222
9、 若三角形ABC的三边为a、b、c满足条件a+b+c+338=10a+24b+26c.则这个三
角形为__________
10、 等腰直角三角形一边长为2，则它的周长为___________cm
11、 三角形ABC中，三边分别为a、b、c，且满足关系式a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判
断三角形的形状。
12、 三角形三边分别满足a2-bc=a(b-c),试判断三角形的形状。 13、 P是正三角形内一点，PA=3,PB=4,PC=5.求∠APB的度数
14、 三角形ABC中，BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°，根据勾股定理对于直角三角
222
形有a+b=c,若三角形不是直角三角形是锐角三角形和钝角三角形，类比试猜
222
想a+b和c有何关系并证明你的结论。
15、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_________。
16 、如图，每个小方格都是边长为1的正方形，试计算出五边形ABCDE的周长和面积。
D AC
B17、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。
18、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。
(1)求DC的长。(2)求AB的长。
A
D
B C 1 9.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
20.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
21、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B’，求BB’
4
的长（梯子AB的长为5 m）。
22．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。
23、如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点， 求证:AB2?AP2?PB?PC
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