第4讲 基本不等式
一、选择题
4
1．若x＞0，则x＋的最小值为( )．
xA．2 B．3 C．22 D．4
4
解析 ∵x＞0，∴x＋≥4.
x答案 D
14
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )．
ab
7A. 2
B．4
9
C.
2
D．5
141?14?1??b4a??1?
解析 依题意得＋＝?＋?(a＋b)＝?5＋?＋??≥?5＋2
ab2?ab?2??ab??2?b4a?9
当且仅×?＝，
ab?2
a＋b＝2??b4a当?＝ab??a＞0，b＞0
4
14
2
，即a＝，
3
b＝时取等号，即＋的最小值是. 3ab2
答案 C
3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a ( )． 9 A．a B．v＝ab D．v＝ a＋b2 a＋b2 解析 设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a 2sss＋ab＝2ab2ab<＝ab. a＋b2ab2 2 2 2abab－aa－a又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. a＋ba＋ba＋b答案 A 4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )． 11 A.＋有最大值4 ab 1 B．ab有最小值 4 1 C.a＋b有最大值2 D．a＋b有最小值 22 2 2 解析 由基本不等式，得ab≤ a2＋b2 2 ＝ a＋b－2ab111a＋b，所以ab≤，故B错；＋＝ 24abab2 1a＋b＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ab2 a＋b2 ＝ 1 ，即a＋b≤ 2，故2 11222 C正确；a＋b＝(a＋b)－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错． 42答案 C 212 5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 xy ( )． A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) C．(－2,4) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－4,2) 21 解析 ∵x>0，y>0且＋＝1， xy4yx?21?∴x＋2y＝(x＋2y)?＋?＝4＋＋ xy?? xy≥4＋2 4yxx4yx·＝8，当且仅当＝， yxy即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m＋2m恒成立， 即8>m＋2m，解得－4 8 6．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相 2m＋1交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为 ( )． 3 C．84 3D．44 2 2 2 ba A．162 B．82 解析 如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－ 2 bxB－xD－mxD同号，所以＝，根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2.同理可得 axC－xA888mmm2－22－22－2 2m＋12m＋12m＋188bmxC＝2－，xB＝2，xD＝2，所以＝＝＝＝ 2m＋12m＋1a8118－mm2－－2－m2－22m＋1822m＋1 2 2m＋18m2·22m＋12 8882m＋111782m＋1 ＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋12m＋12m＋122222m＋12 3b7 2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝82. 2a2答案 B 二、填空题 7．设x，y为实数．若4x＋y＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________． 33?2x＋y?2522 解析 依题意有(2x＋y)＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·?，得(2x＋y)≤1，?22?2?821010210即|2x＋y|≤.当且仅当2x＝y＝时，2x＋y取最大值. 555答案 210 5 2 2 2 8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点， x则线段PQ长的最小值是________． 2 解析 假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点 x为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍． 2??假设P点的坐标为?x0，?，则|PQ|＝2|OP|＝2x? 0 ? 2 x2即x0＝20＋2≥4.当且仅当x0＝2， x0x0 44 时，取“＝”号． 答案 4 9．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 解析 由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2ab， 则ab＝a＋b＋3≥2ab＋3， 即ab－2ab－3≥0?(ab－3)(ab＋1)≥0?ab ≥3， ∴ab≥9. 答案 [9，＋∞) 3 ?1??1?10．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝?x＋??y＋?的最小值为________。 ? x?? y? 1??1?1yx1x＋y2－2xy2?解析 z＝?x＋??y＋?＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝ xyxyxyxyxy?x??y? xy，则0 ?x＋y?2＝1.由f(t)＝t＋2在?0，1?上单调递减，故当t＝1时f(t)＝t????2?4 t?4?4＋2t有最小值334，所以当x＝y＝125 2时，z有最小值4. 答案 25 4 三、解答题 11．设a，b，c都是正数，求证：bc＋acab＋abc≥a＋b＋c. 证明 ∵a，b，c都是正数，∴bca， cab，abc都是正数． ∴bc＋caab≥2c，当且仅当a＝b时等号成立， cab＋abc≥2a，当且仅当b＝c时等号成立， abc＋bca≥2b，当且仅当a＝c时等号成立． 三式相加，得2(bca＋cab＋abc)≥2(a＋b＋c)， 即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c. 当且仅当a＝b＝c时等号成立． 12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求1x＋1 y的最小值． 解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有??? 2x＋5y＝20，?解得?? x＝5， ?2x＝5y， ?? ?y＝2， 此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. 4
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