第二讲 大题考法——平行与垂直
题型(一) 线线、线面位置关系的证明 平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考查线面平行、垂直的判定定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转化等. [典例感悟]
[例1] (2017·江苏高考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，
BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD， 所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC. 又因为AC?平面ABC， 所以AD⊥AC.
[方法技巧]
立体几何证明问题的2个注意点
(1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理．如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外；线面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理的条件不完整，则结论不一定正确．
(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要
多画出一些图形辅助使用．
[演练冲关]
1.(2018·苏锡常镇调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD； (2)求证：CE∥平面PAD.
证明：(1)取BD的中点O，连结CO，PO， 因为CD＝CB，所以BD⊥CO. 因为PB＝PD，所以BD⊥PO. 又PO∩CO＝O， 所以BD⊥平面PCO.
因为PC?平面PCO，所以PC⊥BD. (2)由E为PB中点，连结EO，则EO∥PD， 又EO?平面PAD，PD?平面PAD， 所以EO∥平面PAD.
由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD， 又CO?平面PAD，所以CO∥平面PAD. 又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面PAD， 而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD.
2．(2018·苏州模拟)在如图所示的空间几何体ABCDPE中，底面
ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝AD＝4，EB＝2.
(1)若点Q是PD的中点，求证：AQ⊥平面PCD； (2)证明：BD∥平面PEC.
证明：(1)因为PA＝AD，Q是PD的中点， 所以AQ⊥PD. 又PA⊥平面ABCD， 所以CD⊥PA.
又CD⊥DA，PA∩DA＝A， 所以CD⊥平面ADP. 又因为AQ?平面ADP， 所以CD⊥AQ， 又PD∩CD＝D， 所以AQ⊥平面PCD.
(2)如图，取PC的中点M，连结AC交BD于点N，连结MN，ME， 1
在△PAC中，易知MN＝PA，MN∥PA，
21
又PA∥EB，EB＝PA，
2所以MN＝EB，MN∥EB，
所以四边形BEMN是平行四边形， 所以EM∥BN.
又EM?平面PEC，BN?平面PEC， 所以BN∥平面PEC，即BD∥平面PEC.
题型(二) 两平面之间位置关系的证明 考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本质是考查线面垂直和平行. [典例感悟] [例2] (2018·南京模拟)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，M为线段PB的中点，N为线段
BC的中点．
求证：(1)平面MON∥平面PAC； (2)平面PBC⊥平面MON.
[证明] (1)因为M，O，N分别是PB，AB，BC的中点，所以MO∥PA，
NO∥AC，
又MO∩NO＝O，PA∩AC＝A， 所以平面MON∥平面PAC.
(2)因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC. 由(1)知，MO∥PA，所以MO⊥BC.
连结OC，则OC＝OB，因为N为BC的中点，所以ON⊥BC. 又MO∩ON＝O，MO?平面MON，ON?平面MON， 所以BC⊥平面MON.
又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面MON.
[方法技巧]
证明两平面位置关系的求解思路
(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．
(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将
证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决.
[演练冲关]
(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1
⊥B1C1.
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
AB∥A1B1.
因为AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 四边形ABB1A1为平行四边形． 又因为AA1＝AB，
所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B.
因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC.
因为A1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，
BC?平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1?平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
题型(三) 空间位置关系的综合问题 主要考查空间线面、面面平行或垂直的位置关系的证明与翻折 或存在性问题相结合的综合问题. [典例感悟]
[例3] 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
相关推荐：
loading