中考数学压轴题专题复习——平行四边形的综合附答案

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8 【解析】 【分析】

?1?利用平行线的性质得到?CFA?90o，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半即可得证，

?2?利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用?1?得结论即可得

证，

?3?设GF?x，则AF?5?x，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关

系，解出x即可． 【详解】

?1?证明：QAG//BD，CF?BD，

?CF?AG，

又QD为AC的中点，

1?DF?AC，

21又QBD?AC，

2?BD?DF，

?2?证明：QBD//GF，BD?FG，

?四边形BDFG为平行四边形，

又QBD?DF，

?四边形BDFG为菱形，

?3?解：设GF?x，则AF?5?x，AC?2x，

在RtVAFC中，(2x)2?(7)2?(5?x)2， 解得：x1?2，x2??16(舍去)， 3?GF?2，

?菱形BDFG的周长为8．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．

7．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】

试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x=

x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+

，推出BN=

x）2，解得

，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.

试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2． 理由：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA=GC，

∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2， ∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x． ∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°， ∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°， ∴∠AMN=30°， ∴AM=BM=2x，MN=

x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，

∴1=x2+（2x+解得x=∴BN=

x）2， ， ，

．

∴BG=BN÷cos30°=

考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质

8．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．

（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．

（2）引申：如果∠C?90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18. 【解析】

试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；

（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形

ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC． 于是AP=DQ．又因为S△ABC=

11BC?AP，S△DFC=FC?DQ，所以S△ABC=S△DFC； 22（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×（1）证明：在△ABC与△DFC中，

1×3×4=18． 2AC＝DC∵{?ACB＝?DCF， BC＝FC∴△ABC≌△DFC．

∴△ABC与△DFC的面积相等； （2）解：成立．理由如下：

如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q． ∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°， ∴∠ACP=∠DCQ．

?APC＝?DQC∴{?ACP＝?DCQ，

AC＝CD△APC≌△DQC（AAS）， ∴AP=DQ．

11BC?AP，S△DFC=FC?DQ， 22∴S△ABC=S△DFC；

又∵S△ABC=

（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍， 若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大， ∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大． ∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×考点：四边形综合题

1×3×4=18． 2