广东省广州市2016届高中毕业班综合测试(二)数学理试题(解析版)

∴OK?AB.

∵AB?平面ABD,BD?平面ABD,ABIBD?B, ∴OK?平面ABD,且OK?OD?sin60??3. …………………………9分 2在Rt△MOB中,MB?OM2?OB2?2, 在Rt△MOD中,MD?OM2?OD2?2, 71?MD?2?∴ △BDM的面积为S??MD?MB??. ?222??设点A到平面BDM的距离为h, 由VA?BDM?VM?ABD, 得?h?S?2131?OK?S?ABD, 3得h?OK?S?ABDS31??2?222122?. ……………………………10分 772设直线AM与平面BDM所成的角为?, 则sin??h21?. ………………………………………………11分 AM721. ………………………12分 7∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为

注:求h?221的另法. 7113??OD?OB?AB?, 323由VA?BDM?VM?ABD?VO?ABD?VA?BDO?得?h?S?1333,得h??3S3221. ?772

（20）（本小题满分12分）

已知点F?1,0?，点A是直线l1:x??1上的动点，过A作直线l2，l1?l2，线段AF的 垂直平分线与l2交于点P. (Ⅰ)求点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若点M,N是直线l1上两个不同的点, 且△PMN的内切圆方程为x?y?1，直 线PF的斜率为k，求

解析： (Ⅰ)解:依题意,点P到点F?1,0?的距离等于它到直线l1的距离, ………………1分 ∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1:x??1为准线的抛物线. …………2分 ∴曲线C的方程为y?4x. ………………………………………………3分 (Ⅱ)解法1：设点P?x0,y0?，点M??1,m?，点N??1,n?， 直线PM方程为：y?m?222k的取值范围. MNy0?m?x?1?， ………………………4分 x0?1 化简得，?y0?m?x??x0?1?y??y0?m??m?x0?1??0. ∵△PMN的内切圆方程为x?y?1， ∴圆心?0,0?到直线PM的距离为1，即22222y0?m?m?x0?1??y0?m???x0?1?22?1. ………5分

故?y0?m???x0?1???y0?m??2m?y0?m??x0?1??m2?x0?1?2.

易知x0?1，上式化简得，?x0?1?m2?2y0m??x0?1??0.………………6分 同理，有?x0?1?n2?2y0n??x0?1??0. ………………………………7分 ∴m,n是关于t的方程?x0?1?t2?2y0t??x0?1??0的两根.

??x0?1??2y0 ∴m?n?， mn?. ………………………………8分

x0?1x0?1 ∴MN?m?n?2?m?n?2?4mn?24y0?x0?1?2?4?x0?1?.……………9分

x0?1 ∵y0?4x0，y0?2x0，

24?x0?1?x0?4x0?1??2 ∴MN?. 22x0?1?x0?1??x0?1?16x0

2x0y0y0? 直线PF的斜率k?，则k?. x0?1x0?1x0?1 ∴

k?MNx0?2x0?4x0?11. ………………………………10分 1x0??4x0 ∵函数y?x? ∴x0?1在?1,???上单调递增， x1?1?1?0. x01?4?4. x0 ∴x0? ∴0?11?. ………………………………………………11分 1x0??44x0 ∴0?k1?. MN2 ∴

k?1?的取值范围为?0,?. ………………………………………………12分 MN?2?解法2：设点P?x0,y0?，点M??1,m?，点N??1,n?，

直线PM的方程为y?m?k1?x?1?，即k1x?y?k1?m?0，………………4分 ∵ 直线PM与圆x?y?1相切， ∴ 22k1?mk?121?1.

1?m2 ∴ k1?. ………………………………………………5分

2m1?m2??x?1?. ∴ 直线PM的方程为y?m?2m ∵ 点P在直线PM上,

1?m2??x0?1?. ∴ y0?m?2m

易知x0?1，上式化简得，?x0?1?m2?2y0m??x0?1??0. …………………6分 同理，有?x0?1?n2?2y0n??x0?1??0. ………………………………………7分 ∴m,n是关于t的方程?x0?1?t2?2y0t??x0?1??0的两根. ∴m?n???x0?1??2y0， mn?. …………………………………………8分 x0?1x0?1 ∴MN?m?n?2?m?n?2?4mn?24y0?x0?1?2?4?x0?1?. ……………9分

x0?1 ∵y0?4x0，y0?2x0，

24?x0?1?x0?4x0?1??2 ∴MN?. 22x0?1?x0?1??x0?1?16x0 直线PF的斜率k?2x0y0y0?，则k?. x0?1x0?1x0?1k ∴?MNx0?2x0?4x0?11. ……………………………………10分 1x0??4x0 ∵函数y?x? ∴x0?1在?1,???上单调递增， x1?1?1?0. x01?4?4. x0 ∴x0? ∴0?11?. ………………………………………………11分 1x0??44x0 ∴0?k1?. MN2 ∴

k?1?的取值范围为?0,?. ………………………………………………12分 MN?2?解法3：设点P?x0,y0?，直线PM的方程为y?y0?k1?x?x0?，即k1x?y?k1x0?y0?0，

令x??1,得yM?y0?k1?1?x0?,

∴ M?1,y0?k1?1?x0?. ………………………………………………4分 ∵ 直线PM与圆x?y?1相切， ∴ 22???k1x0?y0k?121?1.

22 化简得,1?x0k12?2x0y0k1?1?y0?0. ……………………………………5分

?? 同理,设直线PN的方程为y?y0?k2?x?x0?，

222 则点N?1,y0?k2?1?x0?,且1?x0k2?2x0y0k2?1?y0?0. …………6分 22 ∴ k1,k2是关于k的方程1?x0k2?2x0y0k?1?y0?0的两根.

??????22x0y0y0?1 ∴ k1?k2?2, k1k2?2. …………………………………………7分

x0?1x0?12 依题意,x0?1,y0?4x0.

∴ MN??1?x0??k1?k2? …………………………………………8分 ??1?x0? ??1?x0??k1?k2?2?4k1k2 2?2x0y0?4?y0?1? ?2??2x0?1?x0?1?2 ?222x0?y0?1

x0?122x0?4x0?1. ………………………………………………9分

x0?1 ? 直线PF的斜率k?2x0y0y0?，则k?. x0?1x0?1x0?1 ∴

k?MNx0?2x0?4x0?11. ……………………………………10分 1x0??4x0 ∵函数y?x?1在?1,???上单调递增， x