2017-2018学年上海市静安区高一第二学期期末数学试卷
一、填空题(本题共8道小题,每小题5分,满分40分)
1.(5分)已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm,则该圆的半径为 cm. 2.(5分)方程3sinx﹣1=0在区间(0,2π)的解为 . 3.(5分)若
=
,则sin2α的值为 .
4.(5分)命题“数列的前n项和Sn=3n+n(n∈N*)”成立的充要条件是 (填一组符合题意的充要条件即可,所填答案中不得含有字母n)
5.(5分)假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍,且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r,则r= (精确到0.1%) 6.(5分)已知数列{an}的通项公式an=的n的最小值为 .
7.(5分)函数y=cosx(sinx﹣cosx)(x∈R)的最大值为 .
8.(5分)如图,动点P在以O为圆心,半径为1米的圆周上运动,从最低点M开始计时,用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止,设点P的纵坐标y(米)关于时间t(分)的函数为y=f(t).则该函数的图象大致为 (请注明关键点)
(n∈N*),那么使得其前n项和Sn大于7.999
2
二、解答题(本题共4道小题,满分60分) 9.(15分)(1)设α≠kπ+
(k∈Z),直接用任意角的三角比定义证明:secα﹣tanα=1.
,②cos(
)=
)=sinα.
.
2
2
(2)给出两个公式:①tanα=
请仅以上述两个公式为已知条件证明:tan(10.(15分)已知余切函数f(x)=cotx.
(1)请写出余切函数的奇偶性,最小正周期,单调区间;(不必证明) (2)求证:余切函数f(x)=cotx在区间(0,π)上单调递减.
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11.(15分)设数列{an}的前n项和为Sn,对于n∈N*,(q﹣1)Sn=qan﹣a1,其中q是常数. (1)试讨论:数列{an}在什么条件下为等比数列,请说明理由;
(2)设a1=32,且对任意的n∈N*,bn=log2an有意义,数列{bn}的前n项和为Tn,若T19
=19,求Tn的最大值.
12.(15分)如图是一景区的截面图,AB是可以行走的斜坡,已知AB=2百米,BC是没有人行路(不能攀登)的斜坡,CD是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你(看做一点)在斜坡AB上,身上只携带着量角器(可以测量以你为顶点的角).
(1)请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC的长的方案,用字母表示所测量的角,计算出BC的长,并化简; (2)设BC=3百米,AC=确到米)
百米,∠DBA=
,∠BAD=arccos
,求山崖CD的长.(精
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2017-2018学年上海市静安区高一第二学期期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本题共8道小题,每小题5分,满分40分)
1.(5分)已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm,则该圆的半径为 【解答】解:圆心角200°=200×∵弧长为50=∴r=
πr,
=
π,
cm.
(cm),
cm.
即该圆的半径长故答案为:
.
2.(5分)方程3sinx﹣1=0在区间(0,2π)的解为 arcsin或【解答】解:由3sinx﹣1=0, 得sinx=, ∴x=2kπ+arcsin,
或x=(2k+1)π﹣arcsin,k∈Z; ∴方程在区间(0,2π)的解为: x=arcsin或x=π﹣arcsin. 故答案为:arcsin或π﹣arcsin. 3.(5分)若
=
,则sin2α的值为 .
.
【解答】解:由=,得,
∴
两边平方得:
,则sin
,即sin2α=﹣.
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,
故答案为:.
2
4.(5分)命题“数列的前n项和Sn=3n+n(n∈N*)”成立的充要条件是 数列为等差数列且a1=4,d=6,(答案不唯一) (填一组符合题意的充要条件即可,所填答案中不得含有字母n)
【解答】解:根据题意,设该数列为{an},
若数列的前n项和Sn=3n+n,则当n=1时,a1=S1=4, 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n﹣2, 当n=1时,a1=4符合an=6n﹣2, 故有数列为等差数列且a1=4,d=6,
反之当数列为等差数列且a1=4,d=6时,an=6n﹣2,Sn=
22
=3n+n;
2
故数列的前n项和Sn=3n+n(n∈N*)”成立的充要条件是数列为等差数列且a1=4,d=6, 故答案为:数列为等差数列且a1=4,d=6.
5.(5分)假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍,且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r,则r= 7.2% (精确到0.1%)
【解答】解:根据题意,设10年前的国民生产总值为a,则10年后的国民生产总值为2a, 则有a(1+r%)=2a, 即(1+r%)=2, 解可得:r≈7.2, 故答案为:7.2.
6.(5分)已知数列{an}的通项公式an=的n的最小值为 13 . 【解答】解:列{an}的通项公式an=
(n∈N*),
(n∈N*),那么使得其前n项和Sn大于7.999
10
10
则:,
所以:当即:当n=13时,
,
时,
成立,
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即:n的最小值为13. 故答案为:13
7.(5分)函数y=cosx(sinx﹣cosx)(x∈R)的最大值为 .
sin(2x﹣
)
【解答】解:函数y=cosx(sinx﹣cosx)=sin2x﹣cos2x﹣=当sin(2x故答案为:
)=1时,y取得最大值为.
.
8.(5分)如图,动点P在以O为圆心,半径为1米的圆周上运动,从最低点M开始计时,用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止,设点P的纵坐标y(米)关于时间t(分)的函
数为y=f(t).则该函数的图象大致为 点)
(请注明关键
【解答】解:设y=f(t)=Asin(ωt+φ)+b,t≥0, ∴A=1,T=4,ω=∴y=f(t)=sin(故答案为:
t﹣=
,t=0时,φ=﹣),
,b=0
二、解答题(本题共4道小题,满分60分) 9.(15分)(1)设α≠kπ+
(k∈Z),直接用任意角的三角比定义证明:secα﹣tanα=1.
2
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