一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg3?0.4771，lg2?0.3010）
A．16 【答案】D 【解析】 【分析】
nnB．17 C．24 D．25
?4??4?由折线长度变化规律可知“n次构造”后的折线长度为??a，由此得到???1000，利?3??3?用运算法则可知n?【详解】
记初始线段长度为a，则“一次构造”后的折线长度为
23，由此计算得到结果.
2?lg2?lg34a，“二次构造”后的折线长度为3n?4?，以此类推，“n次构造”后的折线长度为?4?，??a??a ?3??3??4??4?若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则??a?1000a，即???1000，
?3??3?4?4??lg???nlg?n?lg4?lg3??n?2lg2?lg3??lg1000?3，
3?3?3?24.02，?至少需要25次构造.
2?0.3010?0.4771故选：D. 【点睛】
即n?本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
nnn
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共
uuuruuuruuuruuuruuuruuur线的非零向量OAOB，，OC满足OC?a1005OA?a1006OB，A，B，C三点共线且该直线不过
O点，则S2010等于（ ） A．1005 【答案】A
B．1006
C．2010
D．2012
【解析】 【分析】
uuuruuuruuur根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据OC?a1005OA?a1006OB，及三点A，
B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值. 【详解】
由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a； ∴{an}为等差数列；
uuuruuuruuur由OC?a1005OA?a1006OB，
所以A，B，C三点共线； ∴a1005+a1006=a1+a2010=1， ∴S2010?2010?a1?a2010?2?2010?1?1005. 2故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
11．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S15?0，S16?0，则Sn取最大值时n的值为（ ） A．6 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意推导出数列?an?为单调递减数列，且当n?8时，an?0，当n?9时，an?0，由此可得出结果. 【详解】
B．7
C．8
D．13
QS15?15?a1?a15?16?a1?a16??15a8?0，S16??8?a8?a9??0，?a8?0，
22a9?0，
所以，等差数列?an?的公差d?a9?a8?0，则数列?an?为单调递减数列. 当n?8时，an?0，当n?9时，an?0， 因此，当n?8时，Sn取最大值. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用等差数列前n项和的最值求对应的n的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．已知各项为正数的等比数列{an}满足a1?1，a2a4?16，则a6?（ ） A．64 【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求a6. 【详解】
24455由a2a4?16得a1q?16,q?16Qq?0?q?2?a6?a1q?2?32.选B.
B．32 C．16 D．4
【点睛】
本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
13．已知数列?an?满足：a1?2,an?1Sn??Sn?1??0?n?N*?，其中Sn为数列?an?的前n项
2和.设f(n)??S1?1??S2?1?L?Sn?1?，若对任意的n均有f(n?1)?kf(n)成立，则
n?1B．3
C．4
D．5
k的最小
整数值为（ ） A．2 【答案】A 【解析】 【分析】
当n?1时，有条件可得Sn?1?Sn???Sn?1?Sn2，从而Sn?1?1?Sn?1，故Sn1?1??1，得出 ??是首项、公差均为1的等差数列，从而求出Sn Sn?1?1Sn?1?Sn?1??【详解】
当n?1时，有条件可得Sn?1?Sn??1?Sn?1?Sn2，从而Sn?1?1?Sn?1，故Sn1Sn?1?1?S11?1?11?n??1，又??1，???是首项、公差均为1的Sn?1Sn?1Sn?1S1?12?1?Sn?1?等差数列，
?1n?1?S?1??S2?1?L?Sn?1?，?n，Sn?，由f(n)?1 Sn?1n?1nf(n?1)(n?1)?Sn?1?1?2n?31?5????2???,2?， f(n)n?2n?2n?2?3?得
依题意知k?f(n?1)， f(n)?kmin?2.
故选：A 【点睛】
本题考查数列的综合应用.属于中等题.
14．在等差数列?an?中，a3，a15是方程x2?6x?5?0的根，则S17的值是（ ） A．41 【答案】B 【解析】 【分析】
由韦达定理得a3?a15?6，由等差数列的性质得a1?a17?a3?a15，再根据等差数列的前n项和公式求S17. 【详解】
在等差数列?an?中，a3，a15是方程x2?6x?5?0的根，
B．51
C．61
D．68
?a3?a15?6.
?S17?17?a1?a17?17?a3?a15?17?6???51. 222故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n项和公式，属于基础题.
15．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10?10,S30?30,则S20= A．10 【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20），代入可求． 【详解】
10由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，且公比为q
B．20 C．20或-10 D．-20或10
∴（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）即?S20?10??10?30?S20? 解S20 =20或-10（舍去） 故选B． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质（若Sn为等比数列的前n项和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用
2
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