第二章 2.1 2.1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( C )
A．50 C．25
B．40 D．20
1 000[解析] 根据系统抽样的特点，可知分段间隔为＝25.
40
2．某报告厅有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下每排座位号16的50名听众进行座谈，这是运用了( C )
A．抽签法 C．系统抽样法
B．随机数法 D．不确定
[解析] 50排座位相当于分50段，分段间隔k＝60，从每一段中取座位号为16的听众，相当于初始值s＝16，相邻两排的间隔相同，故为系统抽样．
3．(2019·兰州一中高一期中测试)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( C )
A．7 C．10
B．9 D．15
960
[解析] 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝＝30，
32因为第一组号码为9，
则第二组号码为9＋1×30＝39，…， 第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，
117
由451≤30n－21≤750，即15≤n≤25，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1
1510＝10(人)．
4．(2019·甘肃天水一中高一期中测试)某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是( C )
A．25 C．117
B．133 D．88
[解析] 由系统抽样样本编号的确定方法进行求解．因为第1组抽出的号码为5，所以第8组应抽出的号码是(8－1)×16＋5＝117，故选C．
二、填空题
5．某班有学生54人，现根据学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的编号是__16__.
[解析] 因是系统抽样，54不能被4整除，需先剔除2人，再重新编号分组，最后按系统抽样的步骤抽取，所以抽出的某某号，是编号，并不是学号．先按学号随机剔除2人，再重新给52人编号1～52，每组13人，因为第一组取到3号，29＝2×13＋3,42＝3×13＋3，所以还有一个同学的编号为1×13＋3＝16.
6．将参加数学夏令营的100名学生编号为001,002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为__8__.
[解析] 将100名学生分成25组，每组4名，第n组抽中的号码为4＋4(n－1)＝4n，由题意得46≤4n≤78，∴11.5≤n≤19.5，
∵n∈N＋，∴n＝12,13,14,15,16,17,18,19， ∴在046号至078号中，被抽中的人数为8. 三、解答题
7．某单位共有在岗职工624人，为了调查工人上班时，从离开家到来到单位的路上平均所用时间，决定抽取24名工人调查这一情况，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
[解析] 第一步，将624名在岗职工随机的编号：1,2，3，…，624；
第二步，由于样本容量与总体容量的比是1︰26，所以我们将总体平均分成24个部分，其中每一部分包含26个个体；
第三步，在第一部分，即1号到26号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是8； 第四步，以8作为起始数，然后顺次抽取34、60、86、112、138、164、190、216、242、268、294、320、346、372、398、424、450、476、502、528、554、580、606，这样就得到一个容量为24的样本．
8．一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手，现从中抽取13人参加某项运动．若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．
[解析] (1)将除种子选手以外的198名运动员用随机方式编号，编号为001、002、…、198；
(2)将编号按顺序每18个为一段，分成11段；
(3)在第一段001、002、…、018，这十八个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如010)作为起始号码；
(4)将编号为010、028、046、…、190的个体抽出，与种子选手一起参加这项运动．
B级 素养提升
一、选择题
1．某年级有1 000名学生，随机编号为0 001,0 002，…，1 000，现用系统抽样的方法从中抽出200人，若0122号被抽到，则下列编号也被抽到的是( B )
A．0 116 C．0 834
B．0 927 D．0 726
[解析] 抽样间隔为1 000÷200＝5，∵122÷5的余数为2，∴被抽到的编号被5除所得余数应为2，而927÷5的余数为2，故选B．
2．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从495到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( B )
A．26,16,8 C．25,16,9
B．25,17,8 D．24,17,9
[解析] 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每组有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300得k≤
103
，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25； 4
103
＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17. 4
令300＜3＋12(k－1)≤495得
从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8. 二、填空题
3．某学校有学生4 022人．为调查学生对2016年巴西里约奥运会的了解状况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是__134__.
4 022
[解析] 由于不是整数，所以应从4 022名学生中用简单随机抽样剔除2名，则分
304 020
段间隔是＝134.
30
4．一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3，…，99，依次将其分成10个小段，段号分别为0,1,2，…，9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0段随机抽取的号码为l，那么依次错位地取出后面各段的号码，即第k段中所抽取的号码的个位数为l＋k或l＋k－10(l＋k≥10)，则当l＝6时，所抽取的10个号码依次是__6,17,28,39,40,51,62,73,84,95__. [解析] 在第0段随机抽取的号码为6，则由题意知，在第1段抽取的号码应是17，在第2段抽取的号码应是28，依次类推，故正确答案为6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.
三、解答题
5．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题： 本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人； 应抽户数：30户；
1 200
抽样间隔：＝40；
30
确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12； 确定第一样本户：编码的后两位数为12的户为第一样本户； 确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户； ……
(1)该村委采用了何种抽样方法？ (2)抽样过程中存在哪些问题，并修改； (3)何处是用简单随机抽样． [解析] (1)系统抽样．
300
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为＝10，其他步
30骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为02(或其他00～09中的一个)；确定第一样本户：编号为02的户为第一样本户；确定第二样本户：02＋10＝12，编号为12的户为第二样本户；….
(3)确定随机数字用的是简单随机抽样，取一张人民币，编码的后两位数为02. 6．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
[解析] (1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297. 又抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
∴x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
7．某位同学利用暑假期间准备搞一个社会实践调查，他打算从某小区内的120户居民中选出7户，他使用系统抽样的过程如下：
①编号：将120户居民从“1”到“120”随机地编号；
②决定间隔：因120被7除余1，故可先从总体中随机地剔除1个个体，再将余下的1 19个个体重新随机地编号为1到119号，最后设定间隔为17；
③随意使用一个起点，如38，然后推算出如下编号的居民为样本：38,55,72,89,106,123,140.
由于123和140并不在实际编号内，故他准备重新选取第一个号码，但他爸爸却说没有问题，爸爸的说法有错误吗？需要重新选取号码吗？你帮他解释一下．
[解析] 所谓系统抽样的第一个号码，一般是在第一组内用简单随机抽样的方法选取的
一个号码，然后再等距离地抽取，这样就保证了后面所有的号码都在已知的编号内．但在实际应用时却不一定是这样来确定第一个号码的，而是随机确定第一个号码的，如这个学生确定的38，如果这时再等距离地确定后续号码就会使号码超出已编号码，这个时候只要将超过的部分减去若干个间隔，然后再将之放到样本编号之中就可以了．例如，因123－17×7＝4,140－17×7＝21.故抽取的号码如下：4,21,38,55,72,89.106.因此这个学生的爸爸的说法并没有错．
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