三角形四心的一种向量表示

三角形四心的一种向量表示

山西 大同机车中学 李学军

几个记法：在△ABC中，O是其内部（不包括边界）一点，连结AO并延长交BC于D，

C连结BO并延长交CA于E，连结CO并延长交AB于F。

记：AF?tABFB，BD?tBCDC，CE?tCAEA；

EOAFBDAE?tACEC，CD?tCBDB，AE?tACEC；

且有：tAB?tBA?tAC?tCA?tBC?tCB?1 记：AO??AAD，BO??BBE，CO??CCF 引理1.线段的定比分点的向量关系式 （1）AD?图1

1AB?tBCAC

1?tBC1?tBC (1.1.1)；

BE?1BC?tCABA；

1?tCA1?tCA (1.1.2)

CF?1CA?tABCB。

1?tAB1?tAB (1.1.3)

（2）若AF??ABAB，BD??BCBC，CE??CACA，则有：

AD?(1??BC)AB??BCAC BE?(1??CA)BC??CABA； CF?(1??AB)CA??ABCB。

证明：只证明（1.1.1），其它同理。 ∵BD?tBCDC ∴BD?

(1.2.1)； (1.2.2) (1.2.3)

tBCBC则有

1?tBCAD?AB?BD?AB??AB??tBCBC1?tBCtBC

(AC?AB)1?tBC1AB?tBCAC1?tBC1?tBCtABtACtABAB?AC

?tAC?1tAB?tAC?1

(2.1.1)

引理2.AO??A?tAB?tAC

tAB?tAC?1 (2.1.2)

BO?tBCtBCtBABC?BA

?tBA?1tBC?tBA?1

(2.2.1)

?B?tBC?tBA

tBC?tBA?1 (2.2.2)

CO?tCAtCBCA?CB

tCA?tCB?1tCA?tCB?1 (2.3.1)

?C?tCA?tCBtCA?tCB?1

(2.3.2)

且有?A??B??C?2

证明：

(2.4)

∵点B、O、E共线，且BO??BBE ∴AO?(1??B)AB??BAE?(1??B)AB??B?tACAC ………………①

1?tAC同理，∵点C、O、F共线，且CO??CCF ∴AO?(1??C)AC??CAF?(1??C)AC??C?tABtAB??C?ABAB?(1??C)AC 1?tAB1?tAB………………②

1?tACtAB??1??????BCB??1?tAB1?tAB?tAC??∴?，解得：?

tAC?????1?tAB?1??CBC1?tAB?tAC???1?tAC? ………………③

③代入①得：

AO?(1?1?tAC1?tACt)AB??ACAC

1?tAB?tAC1?tAB?tAC1?tAC?tABtACtABAB?AC

?tAC?1tAB?tAC?11AB?tBCAC

1?tBC1?tBC又由引理1：AD?tABtAB?tAC?1tAB(1?tBC)???AO与AD共线得：A1tAB?tAC?1 1?tBC由塞瓦定理得：tBC?tAB?tAC1?tAC??代入上式得：A………………④

tCA?tABtABtAB?tAC?1tAB?tAC1?tAC1?tAB???2

1?tAB?tAC1?tAB?tAC1?tAB?tAC1AB?1AC，且AO?2AD.

333由③④得?A??B??C?式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。 定理1. 若O是三角形ABC的重心，则AO?当O为三角形ABC的重心时，有tAB?tAC?1，代入引理2可得。 定理2. 若O是三角形ABC的内心，则AO?且AO?bcAB?AC，

a?b?ca?b?cb?cAD.

a?b?c当O为三角形ABC的内心时，内三角形的内角平分线定理，有tAB?2可得。

定理3. 若O是三角形ABC的垂心，则：

bc,tAC?，代入引理aaAO?cotA?(cotC?AB?cotB?AC).

且AO? (3.1)

cosA?AD.

sinBsinC证明：

当三角形不为直角三角形时

O为三角形ABC的垂心时，有：tAB?bcosA,t?ccosA，代入引理2有： acosBACacosCbcosAccosAacosBacosCAO?AB?AC= bcosA?ccosA?1bcosA?ccosA?1acosBacosCacosBacosCbcosAcosCccosAcosBAB?ACacosBcosC?bcosAcosC?ccosAcosBacosBcosC?bcosAcosC?ccosAcosB再由正弦定理得：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2Rsinc

代入上式，分子、分母同除以2RsinAsinBsinC， 可得：AO?cotA?cotC?AB?cotA?cotB?AC。 把tAB?bcosA,t?ccosA，代入引理2整理得：AO?cosA?AD acosBACacosCsinBsinC若三角形为直角三角形，

当A为直角时，△ABC的垂心即为点A，所以AO?0，而cotA=0，故（3.1）成立 当B为直角时，△ABC的垂心即为点B，AO?AB，cotB=0，（3.1）成立； 当C为直角时，△ABC的垂心即为点C，AO?AC，cotC=0，（3.1）成立。 引理3.OA?tABOB?tACOC?0 证明：由引理2：OA??tABtACtABAB?AC

?tAC?1tAB?tAC?1OB??tBCtBCtBABC?BA

?tBA?1tBC?tBA?1=?tBCtBCtBA(AC?AB)?AB

?tBA?1tBC?tBA?1=(tBA?tBCtBC)AB?AC

tBC?tBA?1tBC?tBA?1，tBC?1t?由前边的记法及由塞瓦定理得：BAtABOB?tAC?1tACAB?AC

tAB?tAC?1tAB?tAC?11?tAC代入上式得：

tCAtABtAB同理：OC??tABtABtAB?1AB?AC

?tAC?1tAB?tAC?1由平面向量的基本定理，可设OA?xOB?yOC

????tAB于是有：?????tABtAC?1tABtAB?x??y??tAC?1tAB?tAC?1tAB?tAC?1tACtACtAB?1??x??y??tAC?1tAB?tAC?1tAB?tAC?1