构造辅助函数法在微积分证明中的运用
石琼芳
【摘 要】 《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用构造函数法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论，这往往对命题的证明能起到事半功倍的结果。构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，本文通过构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。
【关键词】 构造函数法 微积分 等式 微分中值定理 极值
微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。
构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。在本文，将在不等式证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。再探讨这些方法时，首先，对一些经典的定理以及公式的证明进行分析，找到这些证明的思路，进而将这些思路运用到一些具体的实例当中，进行探讨验证，最后在总结出完成这些思路的一类方法。
“构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法。许多文献中，lagrange中值定理，罗尔定理和Cauchy定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了。
一、构造辅助函数法在微分中值定理证明中的运用及其引申
微分中值的定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路，这个思路是当构造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条件，进而解决问题。具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足Fermat引理的函数，进而推导出了结果；而lagrange中值定理和Cauchy定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。构造函数法的思想是十分发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的，这种多态化的思想启发出，在使用构造函数法时，我们可以使用各种所学知识，根据命题条件，构造出满足题意的辅助函数来。
微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质的重要工具。以微分中值定理为基础的各种中值问题，成为数学分析中的重要内容。这类问题的常见形式是：设函数f(x)在[a,b]上连续，在
(a,b)上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点z(a,b)使得某个含有z的等
式成立。
处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔，lagrange定理和Cauchy定理条件的辅助函数。通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法，比如，利用函数的几何图像，借助于行列式等。用这些方法构造函数往往需要很高的技巧，实际处理具体问题不好运用和掌握。如果考虑到lagrange中值定理和Cauchy中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原函数，这样，我们可以利用微分运算的逆过程——积分运算，来构造辅助函数，以解决有关微分中值的问题。
二、 构造辅助函数法在newton-leibniz公式证明中的运用
b
这个著名的牛顿—莱布尼茨公式?f(x)dx?F(x)a里的F(x)连续函数f(x)ab在?a,b?上的一个原函数。在证明了这一结论的过程中，非常巧妙的运用了积分
x上限函数?(x)??af(t)dt，这是个构造函数，最大的特点就是满足
??(x)?f(x)。正是由于有了这个函数，才最终证明了这个可以说是积分中非常
重要的公式。
三、构造辅助函数法结合微分中值定理证明等式
众多等式命题的证明中，结合微分中值定理的命题证明占据着一个非常重要的地位，其证明的方法也是多种多样的，但是主要的方法归纳起来还是以下几种。 1、 原函数法
其实是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数，这个证明的步骤：
1.将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，在结论积分不是很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数0；
2.用x替换变换后等式中的变量；
3.用观察法或者凑微分法求出原函数，则原函数即为所要构造的辅助函数。 4.最后结合微分中值定理，推导出结论来。
例1． 设函数f(x)在[a,b]上可导，试证明存在z?(a,b)，使得
f(z)?z?f?(z)?bf(b)?af(a)。
b?a 证明：将要证的结论变形为
f(z)?z?f?(z)?bf(b)?af(a)?0,
b?a则根据积分构造辅助函数
F(x)??[f(x)?x?f?(x)?bf(b)?af(a)]dx
b?abf(b)?af(a)?x?f(x)?x。
b?a可知函数满足罗尔定理的条件，即F(a)?F(b),所以，存在z?(a,b)，使得
F?(z)?f(z)?x?f?(z)?bf(b)?af(a)?0。
b?a可知结论得证。
证毕
本例题按照归纳的证明步骤，将结论通过恒等变换，移项将等式一端变换为常数0，然后用x替换变换后等式中的变量z,再求出原函数，即函数f(x)，则完成了辅助函数的构造，最后运用罗尔得出结论。
例2．f(x)在?a,b?连续，?a,b?可导，则存在??(a,b)，使
2?(f(b)?f(a))?(b2?a2)f?(?)。
证明（证明一）：将要证的结论变形得
f(b)?f(a)f?(?)??2x，
b2?a2将等式中的?记为x，即
f?(x)?f(b)?f(a)?2x，
b2?a2f(b)?f(a)2?x?c，
b2?a2f(b)?f(a)2?x，
b2?a2然后积分得
f(x)?得到辅助函数
F(x)?c?f(x)?b2f(a)?a2f(b)显然F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，又因为F(a)?F(b)?，22b?a满足罗尔定理，所以存在??(a,b)，使得
F?(?)?0，
故
2?(f(b)?f(a))?(b2?a2)f?(?)。
证毕
例2证明中在构造辅助函数时用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[a,b]上的性质，然后运用罗尔定理推导出结论。如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下
例2．证明（证明二）：将要证明的等式中的?记为x，然后积分得
x2(f(b)?f(a))?(b2?a2)f(x)，
得到辅助函数
F(x)?x2(f(b)?f(a))?(b2?a2)f(x)，
可知，F(a)?F(b)。故由罗尔定理可得
2?(f(b)?f(a))?(b2?a2)f?(?)。
证毕
通过例2的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强的方法，可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。存在多种构造函数的思路，并且构造函数的形式多种多样，但是我们从中要把握住核心的思路：观察要证明的结论，并进行一定的变换，得出原函数即为构造函数，让这个构造函数能够满足微分中值定理的条件，进而利用中值定理得出要证明的结论。
例3．设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)?f(1)?0，求证存在??(0,1)，使
f??(?)?2f?(?)。 1??证明：设辅助函数F(x)?(1?x)2f?(x)，因为f(x)在[0,1]上二阶可导，则f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，而f(0)?f(1)?0满足罗尔定理,则存在?1?(0,1)内，使f?(?1)?0。 在(?1,1)内，又
F(?1)?(1??1)2f2(?1)?0，F(1)?(1?1)2f?(1)?0，
则可知F(x)满足罗尔定理，所以存在??(?1,1)?(0,1)，使得F?(?)?0， 又
F?(x)??2(1?x)f?(x)?(1?x)2f??(x)，
所以
F?(?)??2(1??)f?(?)?(1??)2f??(?)?0，
即得：
f??(?)?2f?(?)。 1??证毕
这个构造的辅助函数依然按照根据要证结论的等式进行变换，则可知
f??(x)2?，两边积分可得lnf?(x)??2ln1?x?lnc，得c?(1?x)2f?(x)，这f?(x)1?x样我们就找出了所需要构造的辅助函数。 2、 微分方程通解法
在命题中经常会遇到这样的形式，函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且满足一定的条件，求证存在一点??(a,b)，使得f?(?)??[?,f(?)]。在处理这一类的问题时，可以先解微分方程y???(x,y)，得到通解G(x,y)?c，则可构造出辅助函数为F(x)?G(x,y)，这种处理的方法就是微分方程通解法。
x?(a,b)。例1．设函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(x)?0，
若f(a)?f(b)?0。证明：对任意的实数k，存在点??(a,b)使得
证明：将结论中的?换成x，得到可分离变量的微分方程：
f?(x)?K， f(x)f?(?)?K。 f(?)即
dy?kdx， y可知道其通解为f(x)?cekx，即为f(x)e?kx?c，
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