解析 根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的球内离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的球体对质点的万有引力，所以F＝4πxρ··m34πρmG＝Gx。当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，受到地球的万2
x3有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝G2。当x 答案 A 方法感悟 (1)在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零。 (2)在匀质球体内部距球心r外，质点受到的万有引力等于半径为r的球体对它的引力。 (3)万有引力定律的表达式F＝G3 Mmxm1m2 适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物体r2 间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这是“分割求和”的思想方法，此处的“和”是矢量和。 1．对于万有引力定律的数学表达式F＝Gm1m2 ，下列说法中正确的是( ) r2 A．牛顿发现了万有引力定律， 并第一个通过实验精确测量出引力常量G的大小 B．r趋近于0时，万有引力趋于无穷大 C．质量为m1、m2的物体受到的万有引力总是大小相等 D．质量为m1、m2的物体受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力 答案 C 解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一个通过实验精确测量出引力常量G的大小，A错误；万有引力定律的表达式F＝Gm1m2 ，适用于两个质点之间的计算，当r→0时，两r2 个物体都不能看成质点，上式不再成立，B错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C正确、D错误。 2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A．1－ C.? dRB．1＋ D.? dR?R－d?2 ??R??R?2 ??R－d? 答案 A 解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等 5 于万有引力，故mg＝G2；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝GMmRM′m43 2，又M＝ρV＝ρ·πR，r3 4g′dM′＝ρV′＝ρ·π(R－d)3，联立解得＝1－，A正确。 3gR 3. 如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的 2小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( ) R A．G2 B．0 C．4G2 D．G2 RR2R答案 D 解析 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对O处质点的吸引力等于完整大球体对O处质点的吸引力与挖去小球体对O处质点的吸引力之差，挖去的小球体球心与O处质点重合，对O处质点的万有引力为零，则剩余部分对O处质点的万有引力等于完整大球 MmMmMmR1 体对O处质点的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，剩 28 余均匀球壳对O处质点的万有引力为零，故剩余部分对O处质点的万有引力等于分离出的球 1 Mm8 对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G2，故D正确。 ?R?22R?2??? 6 Mm 4．两艘轮船，质量都是1.0×10 t，相距10 km时它们之间的引力是多大，这个力与轮船所受重力的比值是多少？(g取值为10 N/kg) 答案 6.67×10 N 6.67×10 －5 －13 4 77 m1m21.0×10×1.0×10－11－5 解析 轮船之间的引力F＝G2＝6.67×10× N＝6.67×10 N 32 r10×10 轮船重力G＝mg＝1.0×10 N 引力与重力的比值＝6.67×10 8 FG－13 。 考点三 计算天体质量与密度 1．万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。天体运动与地面上物体的运动遵循相同的动力学规律。行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力。运用万有引力定律不仅可以计算太阳和地球的质量，还可以计算其他天体的质量，根据不同的已知条件可以选用不同的公式计算中心天体的质量。 43 2．根据质量与密度的关系M＝ρ·πR可知，在已知天体半径R和天体质量M的条件 3下，可以计算天体的密度。 3．下表列出了我们常见的计算天体质量和密度的方法 “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。已知引力常量G＝6.67×101.74×10 km。利用以上数据估算月球的质量约为( ) A．8.1×10 kg B．7.4×10 kg C．5.4×10 kg D．7.4×10 kg 223 Mm4π4πr解析 由G2＝m·2·r得M＝，又r＝RrTGT2 月 19 22 10 13 3 －11 N·m/kg，月球半径约为 22 ＋h，代入数据得月球质量 M≈7.4×1022 kg，D正确。 答案 D 方法感悟 1．天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。 2．自转周期和公转周期 7 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星(或行星)绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。 (人教版必修2 P43·T3改编)经测定月地距离为3.84×10 m，月球绕地球运动的周期为 8 2.36×10 s，试计算地球质量。(G＝6.67×10 答案 6.01×10 kg 24 6－11 N·m/kg) 22 解析 月球与地球间的万有引力提供月球绕地球运动的向心力 M地m?2π?F＝G2，F＝m??2r r?T? 23 M地m?2π?24πr24G2＝m??r，M地＝2≈6.01×10 kg。 rGT?T? 考点四 天体表面的重力加速度问题 1．物体的重力是地球对物体万有引力的一个分力 在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力G和随地球自转而做圆周运动的向心力F′，如图所示。其中F＝G2，而F′＝mωr。除赤道和两极点外，重力与万有引力的大小、方向皆不同。 MmR2 (1)物体在赤道上时，F、G、F′三力同向，此时F′达最大值，重力达最小值，则： MmGmin＝F－F′＝G2－mω2R。 R(2)物体在两极的极点时，F′＝0，F＝G，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为Gmax＝G2。 2．不考虑地球自转时，重力等于万有引力 (1)设在地球表面附近的重力加速度为g，则 MmRMmGMmg＝G2，得g＝2。 RR 8
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