课堂达标(七) 指数、指数函数
[A基础巩固练]
21?212?
1．化简4a·b－÷?－a－b?的结果为( )
33?333?2aA．－
3b6aC．－
8aB．－
bbD．－6ab
6a??2??2?1?12－1
[解析] 原式＝?4÷?－??a－?－?b－－＝－6ab＝－，故选C.
b??3??3?3?33[答案] C
2．已知a＝4，b＝0.4，c＝0.4，则( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b
B．a＞c＞b D．b＞c＞a
x0.2
0.8
0.2
0.2
0.8
[解析] 由0.2＜0.8，底数0.4＜1知，y＝0.4在R上为减函数，所以0.4＞0.4，即b＞c.又a＝4＞4＝1，b＝0.4＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
[答案] A
0.2
0
0.2
?1?2
3．函数y＝??－x＋2x的值域是( )
?2?
A．R
B．(0，＋∞)
?1?C．(2，＋∞) D.?，＋∞? ?2?
[解析] ∵－x＋2x＝－(x－1)＋1≤1， 1?1?2
∴??－x＋2x≥，故选D.
2?2?[答案] D
2
2
xax4．函数y＝(0＜a＜1)图象的大致形状是( )
|x|
x?a，x>0xax?
[解析] 函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝?x|x|??－a，x<0
.当x>0时，函数是
一个指数函数，因为0 x[答案] D ??a， x＞1， 5．若函数f(x)＝? ?－3ax＋1，x≤1? x 是R上的减函数，则实数a的取值范围是 ( ) ?2??3?A.?，1? B.?，1? ?3??4??23??2?C.?，? D.?，＋∞? ?34??3? 0＜a＜1，?? [解析] 依题意，a应满足?2－3a＜0， 1?＋1≥a，?－3a23 解得＜a≤. 34[答案] C ??2e，x＜06．(2018·安徽阜阳第二次质检)已知函数f(x)＝? ?log2x＋? x ＋2，x≥0 (e为自 然对数的底数)，则不等式f(x)＞4的解集为( ) A．(－ln 2,0)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) xB．(－ln 2，＋∞) D．(－ln 2,0) [解析] 当x＜0时，2e＞4，解得：x＞ln 2，不合题意； 当x≥0时，log2(x＋1)＋2＞4，解得：x＞3， 综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)．本题选择C选项． [答案] C ?1?x＋42 7．(2018·合肥质检)不等式2－x＋2x＞??的解集为 ________ . ?2? [解析] 原不等式等价为2－x＋2x＞2 x22 －x－4 ， 又函数y＝2为增函数，∴－x＋2x＞－x－4， 即x－3x－4＜0，∴－1＜x＜4. [答案] (－1,4) 8．(2018·衡水模拟)若曲线|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是______． [解析] 曲线|y|＝2＋1与直 xx2 2 线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． [答案] [－1,1] 9．设a＞0且a≠1，函数y＝a＋2a－1在[－1,1]上的最大值是14，则a的值为 ________ . [解析] 令t＝a(a＞0且a≠1)， 则原函数化为y＝(t＋1)－2(t＞0)． 2 2xxxx?1??1?x①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝a∈?a，?，此时f(t)在?a，?上为增函数． ? a? ?a? ?1??1?2 所以f(t)max＝f??＝?＋1?－2＝14. aa??? ? 11?1?2 所以?＋1?＝16，所以a＝－或a＝. 53?a?1 又因为a＞0，所以a＝. 3 ?1?x②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝a∈?，a?， ?a? ?1?此时f(t)在?，a?上是增函数． ?a? 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)－2＝14， 1 解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3. 31 [答案] 或3 3 10．(2018·上海松江区期末)已知函数f(x)＝a(1)若f(x)为偶函数，求b的值； (2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件． [解析] (1)∵f(x)为偶函数， ∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)． 即a|x＋b| |x＋b| 2 (a＞0，b∈R)． ＝a|－x＋b| ，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0. 3 ??x＋b，x≥－b， (2)记h(x)＝|x＋b|＝? ?－x－b，x＜－b.? ①当a＞1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． 即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b≤2，b≥－2. ②当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． 即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数， 故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． ∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2. [B能力提升练] 1．(2018·丽水模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m－m)·4－2＜0恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－2,1) C．(－1,2) B．(－4,3) D．(－3,4) 2 xx?1?x?1?x2 [解析] 原不等式变形为m－m＜??，因为函数y＝??在(－∞，－1]上是减函数， ?2??2??1?x?1?－1 所以??≥??＝2， ?2??2? ?1?x2 当x∈(－∞，－1]时，m－m＜??恒成立， ?2? 等价于m－m＜2，解得－1＜m＜2. [答案] C 2＋1，x＜0?? 2．(2018·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝??12 ? ?2x－2x＋1????? x2 ，x≥0.方程f(x)－af(x) 2 ＋b＝0(b≠0)有六个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是( ) A．[6,11] C．(6,11) 2 B．[3,11] D．(3,11) 2 [解析] 令t＝f(x)，则方程f(x)－af(x)＋b＝0(b≠0)可化为t－at＋b＝0(b≠0)，作出函数y＝f(x)的图象如图，结合图象可以看出：方程t－at＋b＝0(b≠0)在区间(0,1)，(1,2)内各有一个解时，方程f(x)－af(x)＋b＝0(b≠0)有六个实数根，所以问题转化为函数h(t)＝t－at＋b在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，由此可得不等式组 2 2 2 b＞0?? ?1－a＋b＜0??4－2a＋b＞0 ，在平面直角坐标系中，画出其表示的区域如图，结合图象可以看出： 4
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