数理统计A卷及答案

安徽大学2011—2012学年第一学期

《数理统计》（A卷）考试试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题2分，共10分）

1、B 2、D 3、C 4、A 5、B

二、填空题（每小题2分，共10分）

?)?E(??), D(??)?D(??) 8、St(n?1) 6、0.01 7、E(??1212n29、

X??0sn??t0.05(n?1)（或

X??0sn?t0.95(n?1)） 10、(X'X)?1X'Y

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

???1xx1?11、解：（1）E(X)??xf(x,?)dx??dx??dx??，

??02??2(1??)42令X?E(X)，代入上式得到?的矩估计量为??2X?1． ………………5分 ?2111?1?4（2） E(4X2)?4EX2?4[DX?(EX)2]?4?DX?(??)2??DX?????，

424?n?n因为D(X)?0，??0，所以 E(4X2)??2．故4X2不是?2的无偏估计量.………10分

12、解：X的密度函数为

1,0?x??;??f(x,?)??

其他,?0,似然函数为

1???n,0?xi??,i?1,2,?,n,L(?)?? ………………5分

0,其它????max?X,X,?,X?显然??0时，L(?)是单调减函数，而??max?x1,x2,?,xn?，所以?12n是?的极大似然估计．

?1818???， ,213、解：（1）?的置信水平为0.95的置信区间为?2???0.025(9)?0.975(9)?2即为（0.9462，6.6667）； ………………5

分

?X2（2）D???3??1?X2?122?=???DD[?(1)]?； 2??2??2??2?????22??X2?22??,2?， 由于D?3??2是?的单调减少函数，置信区间为?2??????????《 数理统计 》 （A卷） 第 5 页 共 8 页

即为（0.3000，2.1137）。 ………………10

分 14、解：（1）检验假设H0：?=1，H1：?≠1； 取统计量：??2

2

2

2

2(n?1)s22?0；

222拒绝域为：?≤?2?(n?1)??0.975(9)=2.70或?≥??(n?1)??0.025=19.023，

1?22经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)，

1故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为

?2=1。 ………………5分

?：??10，H1?：??10； 取统计量：t?（2）检验假设H0X?10S/10~ t?(9)；

2拒绝域为t?t0.025(9)?2.2622；?t?10.8?101.2/10?， ?2.1028<2.2622 ，所以接受H0即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。

综上，认为工厂生产正

常。 ………………10分

?115、解：似然函数为L(x1,?,xn;a)?en/2(2?)?1n(Xi?a)22i?1，

?1e(2?)n/2又参数a的极大似然估计为X，于是

?从而 L(x1,?,xn;a0)?1n(Xi?a0)22i?1?1 supL(x1,?,xn;a)? en/2(2?)a?R得似然比函数为

supL(x1,?,xn;a)n?(x1,?,xn)?a?R?exp{(X?a0)2}， ………………5分

L(x1,?,xn;a0)2给定??0.05，得

0.05?P(?(x1,?,xn)??0|a?a0)?P0(n(X?a0)2?2ln?0)，

?2因为当H0成立时，n(X?a0)2～?2(1)，此即?0.05(1)?3.84?2ln?0，

1n(Xi?X)22i?1从而上述问题的拒绝域是

W0?{n(X?a0)2?3.84}. ………………10分

四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 16、证明：由指数分布的总体满足正则条件可得

??2???1?1I(?)??E?2lnf(x;?)???E?2??2，

????????1的的无偏估计方差的C-R下界为 ?《 数理统计 》 （A卷） 第 6 页 共 8 页

??1?1?2?[(?)]?2????1． ………………5分 ?21nI(?)n?n22?另一方面

E(X)?1?， Var(X)?1， n?2即X得方差达到C-R下界，故X是17、证明:样本的联合密度函数为

1的UMVUE． ………………10?分

1n?i?1?P(x1,?,xn;?)?()e. ……………

2??|xi|n…5分

1n??t取T??|xi|,g(t;?)?()e,h(x1,?,xn)?1,

2?i?1n故由因子分解定理，

T??|xi|i?1n为?的充分统计

量. ………………10分

五、综合分析题（本大题共10分）

18、解: (1)根据已知数据可以得到回归系数的估计为

??1??(xi?116i?x)(yi?y)?i?(xi?116?x)225.5218?84.3975,0.3024

???0?y??1x?45.788?84.3975?0.125?35.2389.故对的回归方YX??35.2389?84.3975x.. ………………………5分 y(2)该问题即需要检验假设

H0:?1?0

由于

?l?278.4805， Q?lyy??1xy从而 U?lyy?Q?2153.9761

U?108.2863，

Q/(n?2)又 F0.05(1,14)?4.60，

程为

于是 F?可见 F?F0.05(1,14)，

因此拒绝原假设，即回著。 ………………………10分

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归效果显

数理统计 》A卷） 第 8 页 共 8 页

《 （