[金版教程]高考数学（理）二轮复习专题整合突破练习：高考中的数列（解答题型）含答案

1．[2015·郑州质量预测(二)]已知等差数列{an}的各项均为正数，5

a1＝1，且a3，a4＋2，a11成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

1

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

anan＋1

解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知d>0， 5?2?5

因为a3，a4＋2，a11成等比数列，所以?a4＋2?＝a3a11，

??

?7?2

所以?2＋3d?＝(1＋2d)(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0，

??

315

所以d＝2(d＝－22舍去)， 3n－1

所以an＝2. 1?144?1

－?(2)bn＝＝＝33n－13n＋2?，

anan＋1?3n－1??3n＋2???11?4?11112n

－＋－＋…＋－??所以Tn＝325583n－13n＋2?＝3n＋2. ?

2．[2015·石家庄一模]设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1

＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1、2a2、a3＋3为等差数列{bn}的前三项．

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(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和．

解 (1)解法一：∵an＋1＝λSn＋1(n∈N*)， ∴an＝λSn－1＋1(n≥2)，

∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0， 又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，

∴数列{an}是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a3＝(λ＋1)2，

∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. 解法二：∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，

∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴an＋1＝Sn＋1(n∈N*)， ∴an＝Sn－1＋1(n≥2)，

∴an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)， 又a1＝1，a2＝2，

∴数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列， ∴an＝2n－1，

bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.

(2)由(1)知，anbn＝(3n－2)×2n－1，设Tn为数列{anbn}的前n项和， ∴Tn＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n－2)×2n－1，①

∴2Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－5)×2n－1＋(3n－2)×2n.②

①－②得，－Tn＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n－1－(3n－2)×2n 2×?1－2n－1?＝1＋3×－(3n－2)×2n，

1－2整理得：Tn＝(3n－5)×2n＋5.

311

3．[2015·云南统测]在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝2－a，设bn＝，

an－1n

数列{bn}的前n项和是Sn.

(1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn； (2)比较an与Sn＋7的大小． 解 (1)证明：∵bn＝

1111

，an＋1＝2－a，∴bn＋1＝＝an－1an＋1－1an－1n

＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，

∴数列{bn}是公差为1的等差数列． 315

由a1＝5，bn＝得b1＝－2，

an－15nn?n－1?n2

∴Sn＝－2＋2＝2－3n.

5711

(2)由(1)知：bn＝－2＋n－1＝n－2.由bn＝得an＝1＋b＝1＋

an－1n

7. n－2

n21

∴an－Sn－7＝－2＋3n－6＋7. n－2

n21

∵当n≥4时，y＝－2＋3n－6是减函数，y＝7也是减函数，

n－2∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.

3987

又∵a1－S1－7＝－10<0，a2－S2－7＝－3<0，a3－S3－7＝－2<0，∴?n∈N*，an－Sn－7≤0，

∴an≤Sn＋7. 1

4．[2015·德阳二诊]已知正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7.

(1)求an的通项公式；

1(2)若bn＝8an·log2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，求Tn的值．

2解 (1)由a2a4＝1得：a3＝1，∵an>0，∴a3＝1，

由S3＝7得：a1＋a2＋a3＝7， 11

∴q2＋q＋1＝7，∴6q2－q－1＝0， 11∴q＝2或q＝－3(舍)

?1?n－11

∴a1＝q2＝4，∴an＝4?2?＝23－n.

??

3－n13－n

(2)bn＝8·2·(3－n)＝2n， 3－n21

∴Tn＝21＋22＋…＋2n ① 3－n121

2Tn＝22＋23＋…＋2n＋1 ②

11?3－n?11

??＋＋…＋①－②得：2Tn＝1－2223

2n?－2n＋1 ?1??1?n－1?

????

4?1－?2??3－n＝1－1－2n＋1

1－21?1?n3－n＝1－2＋?2?－n＋1 ??2n－11n－1

＝2＋n＋1，∴Tn＝1＋2n. 2

5．[2015·大连一模]已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，

2

2Sn且满足an＝(n≥2)．

2Sn－1